Reportes sobre Investigaciones en Etnomatemáticas
Joanna O. Masingilia, Syracuse University
jomasing@sued.syr.edu
En esta columna se informa sobre investigaciones actuales en el área de la Etnomatemática. Si usted tiene conocimiento acerca de investigadores que estén llevando a cabo trabajos sobre Etnomatemáticas, por favor envíeme información ya sea por correo (215 Carnegie, Syracuse, NY 13244-1150 USA) o por correo electrónico (jomasing@sued.syr.edu).
Paolo Boero y sus colegas de la Universita di Genova in Italy, han estado investigando algunos aspectos cognitivos y didácticos considerando la relación entre matemáticas y cultura en la enseñanza y aprendizaje de la escuela obligatoria. Ellos se han enfocado sobre (1) como la cultura diaria puede ser utilizada dentro de la escuela para construir conceptos y habilidades matemáticos, (2) la contribución que la matemática escolar puede dar a la cultura diaria para permitir (y diseminar) una interpretación científica de los fenómenos naturales y sociales y (3) la enseñanza matemática como parte de la cultura científica.
David Carraher y sus colegas, de la Universidade Federal de Pernambuco in Brasil, han estado examinando las formas en las cuales el conocimiento aprendido en una determinada situación puede ser transferido a otras situaciones. Tanto Carraher como sus colegas se han convencido por medio de su trabajo de que las maneras en que los estudiantes aprenden a tratar nuevas situaciones específicas, las cuales involucran un notable uso de conocimiento previo como analogías, categorizaciones, comparaciones entre situaciones, búsqueda de correspondencia entre diferentes conjuntos, así como generalizaciones, y como reconocerlas cuando uno necesita dejar a un lado la visión formal/estereotipada acerca de lo que hay que transferir y utilizar del conocimiento previo.
Venus Dawson, de la University of California en Los Angeles, está examinando la práctica matemática de los jugadores de basketboll en una liga citadina. Ella se está enfocando particularmente en como los jugadores utilizan conceptos relacionados con la estadística. En una segunda fase de su estudio, está investigando como algunos jugadores de basketboll y algunos que no lo son, utilizan problemas que involucran estadística cuando los problemas son similares a aquellos que se encuentran en los textos escolares y cuando los problemas están enmarcados dentro del contexto del basketboll.
Guida de Abreu, de la University of Luton en el UK, ha estado investigando como los niños que crecen en una comunidad rural de plantaciones de caña de azúcar en el estado de Pernambuco Brasil, experimentan la relación entre la matemática del hogar y la escolar. Cuando se dedican a las prácticas del cultivo de la caña de azúcar, la gente de esta comunidad utiliza una matemática indígena que difiere notablemente de la matemática enseñada en las escuelas locales. Como parte de esta investigación, Abreu estudió a dos maestros que enseñaban en la escuela primaria de esta comunidad. Ambos estudios de caso ilustran que para poder manejar la situación ( por ejemplo; el vacío tan grande entre las matemáticas escolares y las utilizadas en el hogar), los maestros desarrollan representaciones matemáticas que les permitan: (1) entender y explicar la situación y a la vez, justificar sus prácticas de enseñanza y (2) ubicarse a ellos mismos y a los niños en la estructura social de la comunidad de granjeros.
TESIS RECIENTES & TESIS DOCTORALES
SOBRE ETNOMATEMATICAS
Ubiratan D'Ambrosio
Se ha informado de varias tesis doctorales sobre Etnomatemáticas en diferentes partes del mundo. Algunas se han realizado en Brasil y en España. Estas son contribuciones de investigación efectiva que agregan significado al área. A continuación se informa de algunas de ellas.
En Mayo de 1995, María Luisa Oliveras Contreras presentó una tesis doctoral en la Universidad de Granada, España con el título Etnomatemáticas en Trabajos de Artesanías Andaluza: Su Integración en un modelo para la Formación de Profesores y en la Innovación del Currículo Matemático Escolar. Este importante trabajo es el resultado de más de diez años de investigación sobre las matemáticas identificadas en artefactos artísticos típicos de Granada. Tres clase de éstos fueron escogidos para la investigación: empedrados, taraceas (marquetería) y alfombras. Una etnografía muy original es propuesta por el autor para identificar los contenidos matemáticos de estos bellos trabajos manuales. El marco teórico etnomatemático permite el reconocimiento de importantes estilos de hacer matemática, los cuales serían irreconocibles bajo los puntos de vista prevalecientes de las matemáticas académicas. Un importante aspecto de la tesis doctoral es investigar la forma en que las técnicas de trabajo se transmiten entre los artesanos, los maestros y los aprendices. Esto fue llamado muy apropiadamente por el autor "etnodidáctica". Los métodos que se observaron fueron muy importantes par proponer una estructura de entrenamiento a maestros a través de proyectos. Se reconoce en lo anterior un entrenamiento a los maestros para que actúen como investigadores. Esta importante contribución a la Etnomatemática probablemente llegará a ser un libro en las series publicadas por el Departamento de Didáctica de la Matemática en la Universidad de Granada.
En Marzo de 1995 Gelsa Knijnik puso a consideración de la Facultad de Educación de la Universidad de Río Grande do Sul, en Porto Alegre, Brasil, una tesis doctoral bajo el título Cultura, Matemática, Educacao na Luta pela Terra [Cultura, Matemáticas, Educación en la Lucha por la Tierra]. Este trabajo tan importante es el resultado de varios años de investigación entre los maestros del así llamado "Movimento dos Sem-Terra". Esta es una acción política con el objetivo de ocupación de las tierras las cuales, de acuerdo a la Constitución de Brasil están sujetas a la expropiación para la reforma de la tierra. La posesión efectiva de estas grandes regiones de tierra después de la ocupación, implica varios trámites legales los cuales pueden tomarse mucho tiempo, normalmente cerca de cinco años. Lo cual significa que los ocupantes de estas tierras son confinados a esas áreas y tienen que desarrollar sus propias estructuras sociales: escuelas, asistencia médica y producción. Ellos no pueden abandonar el territorio y el apoyo que reciben no es permanente, de acuerdo a las demandas humanitarias. En este período de confinamiento tienen que depender de sus propios recursos. Estas poblaciones rurales tienen una educación mínima y tienen que organizar sus propias actividades tales como la demarcación de la tierra, su sistema de producción, así como su sistema escolar. Existen muchas matemáticas en todas estas actividades. La investigación etnográfica de Gelsa Knijnik está enfocada en la identificación de la Etnomatemática de estos procesos, brindando los instrumentos de apoyo para integrar éstas prácticas en un currículo matemático escolar relevante para sus necesidades inmediatas y permitir la transición al sistema escolar oficial, después de vencer los obstáculos legales. Como conducir un entrenamiento a maestros para estos sistemas educativos paralelos, dependiendo por supuesto de los recursos humanos proporcionados por una población confinada y sin educación es un gran desafío. La tesis de Knijnik presenta un estudio socio-político y pedagógico de estos aspectos presionando siempre en el contenido matemático en cada paso del proceso. El marco teórico incluye una discusión sobre los aspectos conceptuales de Etnomatemática.
En Abril de 1995, Adriana Isler P. Leite presentó una tesis doctoral al Programa de Pos-Graduacao de Educacao Matemática de la Universidade Estadual Paulista/UNESP en Río Claro, bajo el título A Brincadeira é Coisa Seria: Estudos en Torno da Brincadeira, da Aprendizagem e da Matemática [Jugar es Cosa Seria: Estudios sobre el Juego, Aprendizaje y Matemáticas]. Esta tesis doctoral fue el resultado de una investigación etnográfica que se llevó a cabo durante tres años, involucrando niños de entre 5 a 8 años de edad. La cuestión principal era entender la manera en que los niños juegan espontáneamente y reconocer el contenido matemático de estas actividades. El marco teórico se basó en Etnomatemática y la etnografía adoptada, con el análisis de cerca de 60 hrs. de videos, lo cual fue una importante contribución para entender la formación de los conceptos matemáticos en los niños de poca edad. Es de mucha importancia para la discusión conceptual de la naturaleza de la Etnomatemática desde el punto de vista de las teorías de cognición y aprendizaje, particularmente de Vygotski.
Marianna Kawall Leal Ferreira puso a consideración de la Universidad de Sao Paulo una tesis doctoral sobre Da Origem dos Homens a Conquista da Escrita: Um Estudo sobre Povos Indigenas e Educacao Escolar no Brasil [Desde el Origen del Hombre a la Conquista de la Escritura: Un Estudio de Gente Indígena y la Educación Escolar en Brasil] la cual trata con la construcción del conocimiento en una tribu del Amazonas. Una investigación muy cuidadosa se condujo entre varias diferentes tribus del Parque Indígena do Xingú. Una variedad de culturas proporcionaron al autor la oportunidad de entender los fundamentos históricos y psicológicos de los cuales estas tribus construyen su conocimiento. Varios aspectos de la cultura India tal como son vistos en las escuelas de las tribus, son analizados, enfocándose sobre el proceso educativo el cual da énfasis sobre la transmisión del conocimiento "oficial" y los valores.
Sonia Maria Clareto trabajó en una pequeña comunidad pesquera a la orilla del mar (Caicara) en el Estado de Sao Paulo. Esta tesis doctoral fue un estudio etnográfico de la percepción del espacio de los estudiantes después de tomar clases de Geografía. Específicamente, la percepción de los niños después de conocer el globo terráqueo era como "estar patas arriba". Una tesis doctoral muy interesante intitulada A Crianca e seus dois mundos: A representacao do Mundo em ciancas de uma comunidade caicara [El niño y sus dos mundos: La representación del Mundo por los niños de una comunidad "caicara"] basada sobre el anterior trabajo fue presentada a la Universidade Estadual Paulista/UNESP en Río Claro.
Samuel López Bello presentó una tesis doctoral sobre Educacao Matemática Indígena-- Un Estudo Etnomatemático dos Indios Guarani-Kaiova do Mato Grosso do Sul [Educación Matemática Indígena -- Un Estudio Etnomatemático de los indios de Guaraní-Kaiova en el Estado Mato Grosso del Sur]. La tesis se refiere esencialmente a cuestiones sobre educación, particularmente Educación Matemática, entre las comunidades indias en algún estado remoto en el occidente del Brasil. Los principales objetivos fueron identificar y reconocer diferentes maneras de explicar y conocer en la cultura Guaraní y relacionarlas con las estrategias de una enseñanza formal. La investigación etnográfica dio origen a nuevas metodologías y técnicas sobre la observación participante. Se obtuvieron de esta investigación nuevas interpretaciones de modelos cognitivos entre las culturas indígenas. Un resultado importante fue el reconocimiento del papel de la historia de los individuos y de las comunidades en el proceso cognitivo. Entre la variedad de temas discutidos son particularmente importantes las cuestiones sobre figuras, medidas y conteo.
Comentarios generales
La tesis de Gelsa Knijnik fue publicada con leves modificaciones como un libro con el título Exclusao e Resistencia: Educacao Matemática e Legitimidade Cultural [Exclusión y Resistencia: Educación Matemática y Legitimidad Cultural], Artes Médicas, Porto Alegre, 1995. La tesis de Maria Luisa Oliveras Contreras también será un libro. De la parte matemática de la tesis doctoral de Mariana K. Leal Ferreira se hará un folleto: Com quantos paus se faz uma canoa! A Matemática na vida cotidiana e na experiencia escolar indígena [¿Con cuantos troncos se puede hacer una canoa? Matemáticas de la vida diaria y en una experiencia escolar indígena], MEC/Assessoria de Educacao Escolar Indígena, Brasilia, 1994. Los otros aparecerán solamente como documentos presentando parcialmente los resultados más importantes. El hecho de que estén escritos en portugués y en español, limita, en un sentido el acceso a estas contribuciones tan importantes a la Etnomatemática. En realidad una considerable cantidad de investigaciones en este campo surgen de estudios en América Latina, así como en Lusophone países del Africa, en Portugal y España, aunque el lenguaje sigue siendo una barrera. Afortunadamente gran parte de trabajo importante de Paulus Gerdes ha sido traducido al Inglés y al Francés.
Estos trabajos revelan el gran alcance de la Etnomatemática. Aún cuando difícilmente podemos clasificarlos como trabajos matemáticos. Esto es, en cierto sentido, un tipo de "agresión epistemológica". La diferencia entre Etnomatemática y Etnociencia, Etnohistoria, Etnomusicología, Etnomedicina, Etnopsiquiatría, Etnometodología, es en verdad muy artificial y difícil de establecer. Aún en las civilizaciones mediterráneas y en el reciente siglo XV, la Matemática y la Religión, las Ciencias y el Arte, son difíciles de separar.
Esto nos lleva a mirar de diferente manera, estilos técnicas para explicar, para entender, para copiar del medio ambiente natural y cultural que nos rodea como la esencia de la Historia de Ideas. Para organizar estos estudios, hemos ideado unas pocas palabras para expresar lo anterior: diferentes maneras, estilos, técnicas [tics], de explicar entender, copiar [mathema] del medio ambiente natural y cultural que nos rodea [etno]. De este modo tenemos un mundo Etnomatemático, en el cual dentro de su concepción, obviamente incorpora a la Etnociencia.
Maneras, estilos, técnicas de explicar, de entender. De copiar del medio ambiente natural y cultural que nos rodea, han sido desarrollados y acumulados mediante la historia entera de la humanidad en diferentes culturas, con diferentes culturas, con diferentes objetivos y siguiendo diferentes patrones de pensamiento. Difícilmente podemos adecuar el conocimiento obtenido en una variedad de medio ambientes culturales, a la clasificación académica actual de conocimiento el cual viene de las civilizaciones del Mediterráneo. Con la atención que va en aumento para -con respetuosa actitud hacia ellas- las diferentes culturas, se necesitan epistemologías más amplias. Existe una aceptación general de multiculturalismo en la educación, pero puede desaparecer si no adoptamos una aproximación multicultural a la Historia de Ideas. El Programa Etnomatemático es una respuesta a esto. Las tesis y las tesis doctorales mencionadas son apropiadas para este programa.
Etnomatemáticas y
Matemáticas Multiculturales
Bill Collins
Syracuse (NY) City School District
En Junio de 1995 el Boletín del ISGEm llevó a cabo un informe de la junta de Currículo y Actividades en el Aula (SIG) en la reunión del NCTM en Boston. Como yo no pude asistir a la reunión, su descripción me es de gran interés, no desde el punto de vista del currículo y las actividades en el aula, sino por el informe reportado sobre la discusión de la relación entre Etnomatemática y Matemática Cultural. Aunque estoy de acuerdo con la lista de argumentos por medio de los cuales se coloca a la matemática multicultural como un subconjunto de la Etnomatemática, me gustaría ofrecer otro punto de vista, que, si se acepta, puede conducir a una visión diferente de esta relación, aún cuando existe una intersección, pero no una asociación de "conjunto, subconjunto".
Desde mi punto de vista de la matemática presentada en el salón de clases desde una perspectiva multicultural, la Etnomatemática juega una parte muy importante. Un buen entendimiento de la historia y del rol que las matemáticas han tenido en ella, un reconocimiento de las diferencias humanas las cuales han llevado (y siguen llevando) a varias aproximaciones para resolver problemas y a una fuerte conexión con el trabajo del medio ambiente, todo esto habla sobre Etnomatemáticas y todo contribuye a dar vida a una materia que muy frecuentemente era vista como inerte. Pero mi versión de matemática multicultural es más amplia que esto:
No me sorprendería que así como yo defino matemáticas multiculturales, de la manera más amplia y cómoda para mí, otro lector pueda hacer lo mismo con Etnomatemáticas. La gente pudiera categorizar mis ejemplos, como etnomatemáticos y de ese modo llegar a una conclusión como la mía. Así es esto. El profesor Paul Pederson, de la Universidad de Syracuse, en comentarios hechos en una conferencia sobre educación multicultural que se transmitió a todo lo ancho del Estado de New York, estableció que el verdadero multiculturalismo permite dos puntos conflictivos que se pueden tomar como verdaderos, así que el punto de vista de cada parte debe de ser tomada en cuenta.
Antes de leer el boletín, yo hubiera dicho que la Etnomatemática es un subconjunto de la Matemática Multicultural, por las razones mencionadas. Los puntos que aparecen en el artículo de Junio de 1995 me han convencido de que hay dos figuras intersectándose, cada una contiene una parte de la otra, este es el mejor modelo que yo me puedo imaginar para la relación entre estos dos importantes y crecientes campos de información. Aunque la figura típica utilizada para representar esta intersección de conjuntos es un círculos, la naturaleza amorfa y siempre evolucionante de estos conceptos hace un círculo inapropiado. Ninguna figura debe de acompañar este artículo. El lector debe de imaginarse la relación y después suplir mentalmente la gráfica.
Una Definición de Etnomatemáticas
Gloria Gilmer, Math-Tech Inc.
La siguiente definición de Etnomatemáticas ha sido preparada para un diccionario de educación multicultural:
(1) Etnomatemática es el estudio de las prácticas matemáticas de grupos culturales específicos al tratar con problemas y actividades de su medio ambiente: por ejemplo, la manera en que jugadores profesionales de basketboll calculan los ángulos y las distancias difieren notablemente de la manera en que lo hacen los camioneros. Ambos, los jugadores profesionales y los camioneros son grupos culturales identificados que utilizan la matemática en su trabajo diario. Ellos tienen su propio lenguaje y maneras específicas de obtener estos cálculos y los etnomatemáticos estudian sus técnicas.
El prefijo 'etno' se refiere a grupos culturales identificados, tales como sociedades nacionales de tribus, grupos de trabajo, niños de una cierta edad y clase, clases profesionales, etc. e incluye sus ideologías, sus prácticas diarias y su forma específica de razonar e inferir.
'Matema' significa explicar, entender y manejar realidades específicas por medio de calcular, contar, medir, clasificar, ordenar, inferir y modelar patrones que nacen del medio ambiente.
El sufijo 'tics' significa arte o técnica.
(2) De aquí que Etnomatemáticas es el estudio de las técnicas matemáticas utilizadas por grupos culturales identificados para entender, explicar y manejar problemas y actividades que nacen en su propio medio ambiente.
Descartes e Ideas Matemáticas
Fernando Castro
Maturín, Venezuela
Es reconocido que D'Ambrosio ideó el término Etnomatemática, el cual él ha definido como:
El arte o técnica de entender, explicar, aprender sobre, copiar el manejo, natural, social y político del medio ambiente, dependiendo de procesos como contar, medir, clasificar, ordenar e inferir, lo cual resulta de grupos culturales muy bien identificados (D'Ambrosio, 1988).
Bishop (1988) incluye el juego, diseños y colocaciones como otro proceso del medio ambiente muy rico en ideas matemáticas.
Es interesante hacer notar que Descartes anticipó algunas ideas matemáticas cuando en su "Reglas para Dirigir la Mente" dijo:
El mensaje para esta regla es que no debemos tomar los asuntos más difíciles y arduos inmediatamente, sino debemos enfrentar primero los más simples y menores y específicamente aquellos en los cuales prevalece el orden -tal como en el tejido y al hacer alfombras, o en el más femenino arte del bordado, en el cual los hilos son entretejidos en una variedad de patrones. Varios juegos y cualquier juego que involucre aritmética, o algo semejante, pertenece aquí. (Descartes, 1985, p. 35).
De esta forma Descartes también se estaba anticipando a los modernos estudios sobre simetría y su relación con la noción de grupo (Bourbaki, 1972).
Podemos pensar también que si Descartes reconoció las ideas matemáticas espontaneas en algunos juegos y actividades de diseño, entonces el estaba concibiendo una manera alternativa de generar conocimiento, diferente del "académico". Así cuando el dice: Todo el mundo debería estar firmemente convencido de que las ciencias, aunque obscuras, son deducidas solamente de asuntos los cuales son fáciles y sumamente accesibles, y no de aquellos que son imponentes y obscuros" (Descartes, 1985, p. 34), lo anterior parece estar referido a fuentes del medio ambiente para las ciencias.
Referencias
Bishop, A. (1988). "The Interaction of Mathematics Education with Culture" (La Interacción de la Educación Matemática con la Cultura), Cultural Dynamics, vol. 2, no. 2.
Bourbaki, N. (1972). Elementos de Historia de las Matemáticas. Alianza Editorial. Madrid.
D'Ambrosio, U. (1988). "A Research Program in the History of Ideas and Cognition" (Un Programa de Investigación en la Historia de Ideas y Cognición), Boletín del ISGEm, vol. 4 no. 1.
Descartes, R. (1985). The Philosophical Writings of Descartes (Los Escritos Filosóficos de Descartes), vol. 1, traducido por John Cottingham, Robert Stoothall y Donald Murdoch, Cambridge, Cambridge University Press.
UW-Madison Lands
National Science Education Institute
La Universidad de Wisconsin - Madison ha sido seleccionada por la Fundación Nacional de Ciencias (National Science Foundation, NSF) para situar el instituto nacional de ciencia de educación de $10 millones.
Este instituto único en su género, será fundado con $2 millones al año por cinco años, será el centro principal de la nación de investigación y desarrollo de aspectos de ciencias y de educación matemática e ingeniería. El nuevo instituto será dirigido por Denice D. Denton, profesora de ingeniería eléctrica y computacional del UW-Madison y por Andrew C. Porter, profesor de psicología educativa del UW-Madison y director del Centro de Wisconsin de Investigación en Educación. El Centro Nacional para el Mejoramiento de la Ciencia de Educación, establecido Washington, D.C. será el instituto compañero y jefe del UW-Madison.
"Esta es una oportunidad para nosotros de jugar un papel importante proporcionando liderazgo nacional en educación en ciencias matemáticas y en ingeniería al mismo tiempo, cuando nacionalmente se están buscando estas actividades", dijo Porter.
El nuevo instituto será fundado por medio de un acuerdo cooperativo entre UW-Madison y NSF. El objetivo primordial del instituto será establecer una fundación para apoyar las reformas educativas en ingeniería y educación desde el kindergarten hasta el colegio.
"Estamos estableciendo el instituto debido a la necesidad de examinar más sistemáticamente las reformas educativas fundamentales en los Estados Unidos", dijo Luther Williams, asistente del director de educación y recursos humanos del NSF.
El estado de la ciencia y de la educación matemática en los Estados Unidos ha sido tema de un agudo debate y de preocupación. Muchos científicos y autoridades argumentan que las habilidades de la nación para establecer una enseñanza pública científica y una fuerza de trabajo con técnicas modernas, están en riesgo debido a que la ciencia ha sido hecha inaccesible, desigual y desagradable para millones de americanos.
Una tarea crítica para el instituto será asegurar el acceso e igualdad para grupos tradicionales que están mal representados en ciencias, matemática e ingeniería, una condición que se refleja en un nivel muy bajo en mujeres y grupos minoritarios en estos campos.
En parte, el instituto será un gabinete de estrategia nacional para los asuntos de ciencia y educación, y atraerá a visitantes de todo el mundo. Una de las primeras iniciativas estará enfocada en aumentar los cursos introductorios de ciencias en dos años del colegio.
Los aspectos claves del trabajo del instituto será la comunicación y difuminación de información a nivel nacional para los maestros de ciencias de la escuela elemental y secundaria y además crear modelos de desarrollo profesional para los educadores.
Para mayor información contacte a:
Denice D. Denton
(608)263-2354
Andrew C. Porter
(608)263-4200
¿USTED LO HA VISTO?
Usted lo ha visto es una sección regular del Boletín del ISGEm en el cual se mencionan trabajos relacionados con la Etnomatemática que pueden ser revisados. Animamos a todos los interesados en contribuir en esta columna.
Gerdes, Paulus, African Pythagoras: A Study in Culture and Mathematics Education (Pitágoras Africano: Un Estudio sobre Cultura y Educación Matemática), Universidade Pedagógica, Maputo, Mozambique).
Esta traducción de una versión portuguesa que data de 1992 incluye los siguientes capítulos:
¿Sabían los antiguos artesanos egipcios cómo encontrar un cuadrado de área igual a la de dos cuadrados dados?
De los botones tejidos al Teorema de Pitágoras.
De la simetría de los cuatro dobleces a 'Pitágoras'
'Pitágoras' triángulos semejantes y la 'defensa de los elefantes' modelo de Babuka
Motivos de decoración en general & Teorema de Pitágoras
De los patrones de tejido a Pitágoras & Cuadrados Mágicos
Una nueva demostración del significado de límites
Una nueva demostración relacionada con una técnica de decoración del antiguo Egipto.
Gerdes, Paulus, Etnomathematics and Education in Africa (Etnomatemática y Educación en Africa), Instituto de Educación, Stockolm University, 1995.
Este informe fue publicado dentro del marco de cooperación institucional que se inició en 1991 entre el Instituto de Educación Internacional (IIE, Institute of International Education) en la Universidad de Estocolmo y lo que es ahora la Universidad Pedagógica en Maputo Mozambique. Incluye los siguientes capítulos:
Investigación Etnomatemática: la preparación de la respuesta al principal desafío en la educación matemática en Africa.
Sobre el concepto de Etnomatemática.
Como reconocer el pensamiento geométrico subyacente: una contribución al desarrollo de una antropología de Matemáticas.
Sobre cultura pensamiento geométrico y educación matemática.
Motivos de decoración en general y el Teorema de Pitágoras
'Pitágoras', triángulos semejantes y la 'defensa de los elefantes' modelo de Barbuka
sobre los posibles usos de los dibujos de arena de Angola en el salón de clases
Exploración del potencial matemático de 'Sona': un ejemplo de conciencia cultural motivante en la educación de los maestros de matemáticas.
Tecnología, Arte, Juegos y Educación Matemática: un ejemplo
Sobre la historia de la Matemática en el Sahara de Sudáfrica
Este libro escrito por un instructor matemático de la Escuela de Agricultura de la Región Tropical Húmeda - EARTH, motiva el estudio de técnicas matemáticas al presentar situaciones problema tales como "Agricultura Sostenible", "Aprendiendo a Producir", "Guerra y Paz", "Una Leyenda Arabe", "Abejas Matemáticas" y "El Recorrido de las Garzas otra vez".
El nuevo libro de Claudia Zaslavsky introduce una perspectiva multicultural a los currículos matemáticos de la escuela elemental y secundaria, revelando como dicha perspectiva puede enriquecer el aprendizaje de todos los estudiantes, cualquiera que sea su género, herencia de raza/etnicidad, o status económico. Los estudiantes aprenden que las matemáticas fueron creadas por personas reales intentando resolver problemas de la vida cotidiana. Se les pide resolver la misma clase de problemas y extender sus soluciones hacia aspectos de sus comunidades.
Los capítulos incluidos en este libro son:
Una Visión General de Educación Multicultural
Currículo de Matemáticas Multiculturales
La Conexión Matemática-Literatura
Contando con Dedos y Palabras
Numerales: Símbolos para los Números
Grabando y Calculando: Cuentas, Nudos y Gotas
Como Utilizan las Personas los Números
Geometría y Mediciones en Arquitectura
Geometría, Mediciones y Simetría en el Arte
Análisis de Datos y la Cultura de la Comunidad
Juegos de Varias Culturas
Matemáticas Multiculturales en la Práctica
La Matemática de la Naturaleza:
El Canamayté Cuadrivértice
Rogelio Pitracho Díaz
Museo de Matemáticas, Universidad de Querétaro
Cuando hablamos de Geometría, generalmente pensamos en la Geometría Euclideana, pero rara vez pensamos en la Geometría que nos heredaron nuestros ancestros, en especial los Mayas y los Aztecas. Este trabajo lo que pretende, es retroceder en el tiempo a nuestras Raíces Matemáticas, a la Geometría de la Naturaleza, motivando así, a una investigación más profunda sobre esta geometría, ya que en la actualidad estamos ignorantes de ella.
El Canamayté Cuadrivértice es el cuadrado central en la hilada de cuadros en el dorso de la víbora de cascabel (Crótalos Durissus Tzabcán Yucateco).
Figura 1: El Ajau Can-Crótalus Durissus con
el patrón geométrico en la piel.
Figura 2: Cuadrado vertical o cuadrivértice con una cruz inserta simétricamente en el cuadrado con el eje al centro de éste.
Los cuatro lados del cuadrado representan el número cuatro, que es atributo del Sol y de esa víbora, que lo posee en varias formas y simboliza también las cuatro direcciones cardinales y la cuadratura del Sol y la Luna (figura 2).
El inicio de la cultura Maya
Cronología
El inicio de la Cultura Maya, que se denomina período formativo, se desarrolló alrededor del año 500 A.C. Posteriormente se presentó el llamado período clásico, comprendido entre los años 300 y 800 de nuestra era. El apogeo de la civilización maya ocurrió alrededor del año 708 D.C. y la caída de su imperio se sitúa entre los años 800 925 de nuestra era. En el esplendor de la Cultura Maya, como lo denominan algunos historiadores, arqueólogos y antropólogos, se levantaron grandes centros ceremoniales en el Sureste de la República Mexicana (Yucatán, Campeche, Quintana Roo, gran parte de Tabasco y la mitad oriental de Chiapas) así como Oaxaca, casi toda Guatemala y parte de Honduras y El Salvador.
Figura 3: Mapa de la Región Maya
Figura 4: Una versión del Calendario Maya
Aritmética Maya
La preocupación de los Mayas por medir el tiempo los llevó a hacer cálculos calendáricos y astronómicos tan precisos como los que realizan hoy en día los astrónomos modernos. Al referirse a los mayas, Thompson (1966, p. 178) dijo: "La observación paciente y cuidadosa a través de cientos de años de transmisión de datos de una generación a otra y la existencia de mentes ágiles dispuestas a descartar los cálculos inexactos, fueron los factores principales de su éxito".
Para realizar cálculos calendáricos y astronómicos precisos se requiere una herramienta que haga posible medir y contar con gran precisión. Surge así el sistema vigesimal y los más importante la invención del cero. Es a través de una escritura que se basa en imágenes pictográficas, como se ha logrado conocer las costumbres y descifrar los conocimientos mayas, así como su sistema de numeración posicional.
En el sistema vigesimal Maya se usan solo tres elementos (punto, línea y las diferentes representaciones del Cero) debe señalarse que existe otra manera de representar a los números mayas: a través del uso de las llamadas variantes de cabeza, a las que se consideran los Dioses de cada uno de los números del sistema vigesimal.
Al parecer, la única razón por la que las culturas prehispánicas escogieron el Sistema Vigesimal es bastante obvia; no sólo se puede contar con los dedos de las manos, sino también con los dedos de los pies. Los Mayas prefirieron utilizar todos los dedos, asociando así el Sistema Vigesimal al "Propio yo".
Figura 5: Números Mayas del 1 al 20
Los Mayas representaban al Cero de varias formas: en la fila superior aparece la figura de un caracol con sus respectivas variantes y una concha bivalva. Todas ellas corresponden al Cero que aparece en los códices mayas estudiados por Ernest Förstemann. La fila inferior, corresponde a las diferentes formas en que los Mayas denotaban el Cero en las telas, tableros, monumentos y otros objetos arqueológicos.
Figura 6: Varias formas Mayas del cero
La representación maya más común del Cero; fuera de los códices es la de una flor o una flor incompleta. Sin embargo, existía la variante de cabeza, al igual que con los otros números. En ella aparece el perfil de una cara maya con una mano "haciendo cuernos" en la parte que corresponde a la mandíbula y un signo espiral en la frente, que se cree que tiene relación con la forma de caracol que aparece en los códices.
Los mayas utilizaban el Cero para referirse a las fechas y períodos de tiempo en diversos monumentos y textos. Sin embargo, en ocasiones éste no representaba la ausencia de unidades, el conjunto vacío o nada, sino que denotaba la terminación de un período de tiempo o fecha y el inicio del siguiente. Thompson (1966, p. 182) opina respecto al Cero que:
Este fue un descubrimiento de capital importancia, pero no fue tan obvio como se cree a primera vista, queda evidenciado por el hecho de que no lo hizo ningún pueblo de nuestro mundo occidental. Aún los grandes filósofos y matemáticos jamás encontraron este medio tan simple que hubiera facilitado sus laboriosos cálculos. En Europa no se conoció hasta que no, les llegó a nuestros ancestros por medio de los árabes: éstos lo habían tomado de la India: todo ello ocurrió cuando el período clásico de los mayas ya se había terminado ".
Figura 7: Estela 18 de Uaxactún, la cual tiene
los ceros esculpidos más antiguos del mundo.
La cosmogónica idea del Canamayté pudo ser comprendida a través del siguiente pasaje del Popol buj, libro sagrado de los Maya-Quiché:
Es pues con grandes detalles la descripción y narración de cómo fue formado todo, el Cielo y la Tierra, cómo fue hecho por cuatro esquinas y cuatro lados (es decir, rigiéndose por el cuadrado del Crótalus Durissus), cómo fue medido y fueron puestas cuatro estacas, como fue doblada y extendida la cuerda.
Para medir la extensión del Cielo y de la Tierra, fue hecho de cuatro y cuatro lados por Tz'akol Bitol, se dice, la madre y el padre de la vida y de la creación; la creadora y el cuidador: la que dio a luz y el que mira por el bien de la verdadera raza de las verdaderas hijas y los hijos; pensadores que tenían sabiduría para todo dondequiera que hay Cielo y Tierra, lagos y mares. La creación fue hecha de acuerdo con el principio geométrico de la víbora, según los Mayas. El creador Maya es un matemático. La raíz para Tz'akol es Tsa o Tza, que es la Tzamná o Itzamná: raíz originada en Tzab, cascabel y que es onomatopeya del cascabeleo de la víbora. Con esta raíz se forma Tzabcán, ose, víbora de cascabel. Tz'akol es pues, el mismo Dios-hombre-pájaro-serpiente de cascabel conocido con el nombre de Culculcán o Quetzalcóatl, el matemático y geómetra por excelencia (por ser el creador de todas las cosas).
La serpiente emplumada, que es indígena, significa tiempo, cronología, calendario; lo cual se prueba mediante el hecho de que tanto Zamma, como Cuculcán y Quetzalcóatl fueron refutados como los inventores de la ciencia de medir el tiempo. Ellos tenían como emblema a dicha víbora, y se llamaban Can y Coatl.
El número cuatro es de Cuculcán, así como del Quetzalcoatl, correspondiendo a los 4 lados del cuadrado. El 4, considerado como los lados del cuadrado, está en los dibujos de la piel del crótalo. El crótalo Durissus ( Durissus de Centro América, el Crótalus Durissus Tzabcán o Yucateco). El Crótalo Durissus Totonacus, es el que tiene en su cuerpo el patrón de la proporción Ad Quadratum.
Algunas especies del Crótalo Durissus tienen 13 escamas en cada una de las cuatro filas de escamas labiales, sumando en total 52, número de años del ciclo astronómico Maya y Tolteca conocido como "canturía", o sea, período mayor en que se combinan los movimientos del Sol, la Luna y Venus.
En toda el área Maya hallamos relieves pétreos de sacerdotes que sostienen con ambas manos una barra ceremonial que tiene, al centro, la hilada de cuadrados verticales del Ajau Can. Generalmente, esas barras terminan en cabezas de serpientes. Esa barra es la insignia matemática crotalométrica de los sabios sacerdotes que hicieron construir los templos mayas.
Figura 8: Relieve de un sacerdote Maya
Geometría Maya
El Canamayté-cuadrivértice es el modelo geométrico anterior a toda cultura arqueológica o histórica y que ofreció sus bases matemáticas a todas las culturas precolombinas. Al moverse la víbora produce una geometría dinámica, puesto que sus cuadrados se transforman en rombos para volver inmediatamente a ser lo que eran, revelando así la Geometría, la Aritmética, la Cosmología y la Arquitectura. Siendo la Geometría el alma del pensamiento terrestre y celeste de los Mayas de igual modo que las matemáticas fueron el alma de la cultura griega.
Figura 9: Canamayté-Cuadrivértice en la piel del
Crótalus Durissus Tzabcán Yucateco.
En las figuras 10 a 12 se indica como el Canamayté Cuadrivértice puede ser utilizado en construcciones geométricas
Figura 10: El pentágono y el círculo trazados con
solo la ayuda matemática del Canamayté al centro
Figura 11: El Canamayté Cuadrivértice inserto en otro cuadrado;
la cruz de octantes de la Luna y sus fases
Figura 12: Canamayté de Uxmal, trazado solo con la ayuda
del Canamayté. Al centro está la flor de fases lunares y el
botón del movimiento helicoidal Solsticial.
En las figuras 13 a la 20 se demuestra como con el Canamayté Cuadrivértice se pueden señalar proporciones que se encuentran en la naturaleza y en la construcción:
Figura 13: Proporción de una flor
Figura 14: Proporción del perfil maya
Figura 15: Proporción del rostro
Figura 16: Proporción del cuerpo humano exactamentecomo
en el conocido dibujo de Leonardo Da Vinci,
ilustrando la teoría pitagórica del número de oro,
proporción Ad Quadratum.
Figura 17: Proporción de la choza de paja
Figura 18: El Canamayté y los primeros templos mayas
Figura 19: Plantilla de una pirámide
Figura 20: Modelo del Arco Maya llamado falso,
pero auténtico para ellos, la posición de las piedras salientes en
el arco es exactamente la misma que en las escamas, incluyendo
la canal bajo la clave que cierra el arco.
Localización de los Puntos Cardinales
Las cuatro direcciones cardinales pueden fijarse mediante el Canamayté de la víbora. Para ello, fijemos dos puntos, uno para cada solsticio, o sea, donde el sol se detiene en su marcha horizontal, a la izquierda y a la derecha así como en la figura 21:
Figura 21:
Luego, tal como dice el Popol buj., libro sagrado Maya-Quiche, tendemos una cuerda entre ambos puntos solsticiales; y también como en ese libro se dice, doblemos la cuerda. Tenemos ya el punto equinoccial, que es la mitad del camino entre un alto del sol en verano y otro alto en invierno (Figura 22).
Figura 22
Hecho lo anterior, busquemos el ángulo 46 54', que es el ángulo solsticial, para ello pondremos un punto inferior en la línea equinoccial. Así:
Figura 23
Obteniendo el ángulo solsticial, ajustemos el Canamayté de acuerdo con el punto inferior y el punto equinoccial superior (Figura 24).
Figura 24
Entonces, colocando así el Canamayté, éste señala con sus cuatro vértices: Este, Sur, Oeste y Norte; teniendo en cuenta que el Este es el punto principal de orientación, es decir, que la verdadera orientación es el Este, puesto que hacia allá nace el Sol, el cual deriva de un solsticio a otro. Prueba de que la orientación se logró con el Canamayté de la víbora la tenemos en la creencia de que había cuatro grandes serpientes de cascabel una para cada "esquina" del Cielo, que no son (esas esquinas) sino los ángulos del Canamayté Crotálico.
Para las cuentas de éste, el número cuatro es fundamental, puesto que es solar y crotálico a la vez (las cuatro aspas del sol, la cruz de cuatro aspas del Canamayté y los cuatro vértices del mismo). Contando a partir del vértice oriental del Canamayté. Tenemos el ángulo de la abertura solsticial.
Si trazamos una recta entre los vértices oriente-poniente, tenemos el punto equinoccial y la fijación exacta del Canamayté en su función cosmográfica, puesto que:
a) El Canamayté con su proporción geométrica Sol-y-Lunar y con su propiciación del círculo cuyo trazo facilita, permite la división de la circunferencia no solo mediante los ángulos de 45 grados. Evidentes en dicho Canamayté, sino en las cuentas de las escamas que regula a modo de ábaco la división aritmética de la circunferencia, por "grados" de acuerdo con la ciencia maya.
B) Se obtiene la rosa de los vientos; y la prueba de que el Canamayté sirvió para la fijación de los puntos cardinales la tenemos en que la Piedra del Sol o Calendario Azteca está trazada exactamente sobre dicho patrón. Esta piedra debe yacer en posición horizontal pues señala el ángulo solsticial y su división es de acuerdo con los movimientos del Sol y la Luna, estuvo orientada con sus vértices colocados sobre la línea equinoccial y los puntos cardinales. Las divisiones de la Piedra del Sol son, sin la menor discrepancia, las divisiones del Canamayté.
Conclusiones
Desde el punto de vista de la ciencia, es algo singular eso de que las formas de la Geometría Euclideana estén implícitas en las víboras de cascabel; o sea, en la naturaleza. Asombrosamente, el Crótalus Durissus expresa las bases científicas de ésta y en varias disciplinas, como son la Arquitectura, la Matemática y la Cosmología. Ello demuestra, una vez más, que la mente humana, o la ciencia, descubren aquello que está en la naturaleza.
Una comparación de los postulados de Euclides y los Mayas:
E1) Por dos puntos es posible trazar una línea recta.
M1) El punto lo usaban para la unidad.
La línea para marcar cinco unidades
El Canamayté está formado por trazos de líneas rectas.
E2) Una línea recta es prolongable por sus extremos.
M2) Las líneas que calculan el ángulo solsticial son prolongables.
E3) Dado un punto y un segmento es posible trazar una circunferencia.
M3) El centro de una circunferencia era para los Mayas la Tierra. El centro del Universo era el Sol.
El radio de dicha circunferencia era el segmento dado por la distancia Tierra-Luna.
La circunferencia estaba marcada por las fases de la Luna señaladas sobre el Canamayté.
E4) Todos los ángulos rectos son congruentes
M4) En el Canamayté la cruz inserta sobre él, tiene todos sus ángulos rectos.
El cuadrado y los cuatro cuadrados interiores y todos sus ángulos interiores son congruentes.
E5) Dos rectas son paralelas si éstas no se cortan en algún punto hacia el infinito.
M5) El Canamayté es un cuadrivértice que tiene lados paralelos por lo que si éstos son prolongados hacia el infinito, nunca se cortarán en algún punto
De esto se puede concluir que:
Si los Mayas hubieran axiomatizado sus observaciones, ¿Cuánto conocimiento tendríamos hoy en día?
Referencias
Thompson, J. Eric S. The Rise and Fall of the Maya Civilization, Civilization (El Surgimiento y Caída de la Civilización Maya), University of Oklahoma Press, 1966.