Addison-Wesley sirvieron de anfitriones en nuestra primera recepción en celebración de la afiliación de ISGEm con NCTM. Todos lo pasamos muy bien. Felicitaciones a Addison-Wesley.
Anna Grosgalvis aceptó el certificado de NCTM de la membrecía en ISGEm para la Asamblea General de Delegados a realizarse en New Orleans el 17 de abril de 1991.
Aún necesitamos voluntarios para cubrir las responsabilidades de asistencia a los editores de las publicaciones, de miembros para el Comité de Enrrolamiento y de otras áreas. Por favor, piense en cómo contribuir con su tiempo y sus esfuerzos.
Marilyn Frankenstein, Universidad de Massachusetts
Arthur B. Powell, Universidad Rutgers
...nuestra tarea no es enseñar a los estudiantes a pensar ... ellos ya lo hacen; sino intercambiar nuestras formas de pensamiento con cada uno de los otros y mirar juntos para encontrar mejores formas de enfocar la decodificación de un objeto. (Freire, 1982)
En su conección con la pedagogía, la conjetura básica que está implícita en el emergente campo de la etnomatemática es que nuestros estudiantes, a través de sus actividades diarias, ya piensan en forma matemática. Para entender sus formas de pensar matemáticamente, nosotros necesitamos reconsiderar lo que consideramos como conocimientos matemáticos. Necesitamos aprender acerca de cómo la cultura - en la práctica cotidiana, en el lenguaje e ideológicamente - interactúa con los puntos de vista que los estudiantes tienen de la matemática y de sus formas de pensar matemáticamente. El aprendizaje acerca de estos puntos de vista y las formas de pensamiento son oportunidades para profundizar nuestros conocimientos matemáticos y pedagógicos. Necesitamos recuperar la historia oculta y distorsionada de las contribuciones de todas las culturas a la matemática. Más aún, debemos convencer a nuestros alumnos que ellos ya piensan matemáticamente y que ellos pueden aprender matemáticas "escolares" o "académicas", necesitamos conectar su entendimiento matemático con una historia distorsionada de las matemáticas y con aquello que los matemáticos académicos están estudiando.
Empezamos con una discusión de las teorías de Paulo Freire acerca de la naturaleza del conocimiento en que presenta el rango de las tradiciones intelectuales que sustentan la base teórica de la etnomatemática. Después argumentamos que su epistemología informa las bases teóricas de esta disciplina. Resumimos el rango de áreas que están contribuyendo con ella y entregamos las razones que sustentan las aplicaciones curriculares que se entregan como ejemplos. En conclusión, indicamos algunas implicaciones para seguir investigando el conocimiento matemático y sus vinculaciones a la acción política y cultural.
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Lawrence Shirley, Towson State University
El nintendo y otros juegos de video han ganado la reputación (o notoriedad) de ocupar demasiado el tiempo de los niños que ha hecho que sean sus deberes escolares los que sufran las consecuencias. Sugiero, sin embargo, que más que pelear contra esta invasión la explotemos para la educación matemática, extrayendo los valores del proceso de pensamiento aprendido y usado en el desarrollo de esos juegos. Recientemente, la compañía Nintendo aportó dinero para la investigación de proyectos en educación, lo cual la hace aparecer buscando dentro del campo educativo. ¿Por qué no respondemos viendo el valor educacional de los juegos de video?
Existen variados tipos de juegos de video en los cuales están implicadas diferentes tipos de habilidades cognoscitivas las cuales pueden ser usadas en diferentes formas en matemáticas. Unos de los juegos más antiguos son aquellos en los cuales hay que disparar a un blanco, como la "caza del pato", el cual incluso está incluido en un popular programa básico de control del nintendo. Por supuesto, este tipo de juegos depende en mucho de la coordinación ojo-mano y tiempo, aunque el jugador va ganando experiencia práctica con trayectorias y relaciones de velocidad-tiempo. Los juegos de laberintos, a menudo con villanos persiguiéndote en el laberinto, nos regresan a juegos como el "Pac-Man" tan populares en los años 70 y que aún se mantienen. Una habilidad importantes en este tipo de juego es la construcción mental de un mapa del laberinto y de sus peligros, lo cual conduce a una experiencia de pensamiento topológico y geométrico. Un tercer tipo, que a menudo incluye un laberinto, es un juego de indagación o rastreo tal como el "Castlevania", en el cual el jugador tiene una tarea ya sea de salvar a una princesa o la encontrar el jarrón con oro después de pasar una serie de obstáculos. Al igual que el laberinto, estos juegos implican la construcción de mapas y de topología requiriendo además el desarrollo de estrategias para enfrentar los peligros y dificultades del camino. Otros juegos implican actividades deportivas, simulaciones de conducción de automóviles, de volar aeroplanos y de otras habilidades relacionadas de manera variada con la matemática.
Valores matemáticos Los juegos de video a menudo ofrecen muchos y diferentes valores a la educación matemática. Los más fáciles de apreciar están en la geometría. Los jugadores necesitan desarrollar un buen sentido de espacio y de relaciones topológicas. Los profesores podrían usar éstos manteniendo a los niños desarrollando proyectos de construcción de mapas de los modelos que ellos siguen en los juegos de laberintos o de indagación, incluyendo modelos de "zonas de urdiembre" las cuales saltan desde una región del juego a otra. Las habilidades de planeamiento y de pensamiento estratégico son parte importante de muchos juegos desde el ajedrez hasta el "mastermind", teniendo además importancia en muchos juegos de video. Uno debe planificar un curso de acción, obtener los materiales necesarios y seguir una secuencia uniforme para conseguir la victoria. Esto además es fundamental para la resolución de problemas matemáticos - el segundo paso del método de Polya es planificar una estrategia para encontrar la solución. Losa niñosa pueden discutir los valores de la secuencia y tratar de unirlos en serie, la ley conmutativa, el orden de las operaciones matemáticas y el diagrama de flujo. El hallazgo de modelos es otra habilidad matemática de muchos juegos de video - juntar las piezas de un puzle, reconocer relaciones - tal como encontrar matemáticamente modelos de áreas que van desde las transformaciones geométricas al álgebra abstracta o el análisis funcional.
Es fácil observar como las habilidades de los juegos de video caen dentro de los Estándares de NCTM. La resolución de problemas es esencial para el éxito tanto en ganar un juego como en aprender matemática. El sentido de espacio y el hallazgo de modelos son el ingrediente común en ambos. Fomentando en los niños el hablar acerca de las estrategias de los juegos de video y a dibujar diagramas del mundo de los juegos, el maestro está fomentando la comunicación matemática. Por supuesto que encontrando la "cultura infantil", el profesor de matemática está encontrando y mostrando las conexiones entre las matemáticas y sus aplicaciones en la vida diaria. Para un mejor uso de los juegos de video en las matemáticas, un profesor necesitaría estar más familiarizado con algunos de los juegos más populares, viendo dónde ellos pueden llenar mejor las necesidades curriculares. Esto puede variar considerablemente de un juego a otro y de un nivel a otro. No obstante, a manera de ejemplo, vamos a echar una mirada a dos muy populares juegos de Nintendo:la serie de los Super Hermanos Mario y el Tetris.
Todos los juegos de los super hermanos Mario implican viajar a través de varios "niveles" de varios "mundos" en una actividad de búsqueda. Cada uno de los niveles en cada uno de los mundos tiene su propio medio ambiente con una serie de obstáculos y monstruos bloqueando el camino. Uno puede evitarlos o pelear con ellos, frecuentemente coleccionando armas a través del camino hacia el monstruo o haciendo la figura de Mario más grande o más poderosa para saltar, correr e incluso volar. Para evitar el tener que ir a todos los mundos, existen ahí varias "zonas de urdiembre" las cuales son modelos especialmente escondidos que nos permitirán saltar a mundos más avanzados en forma instantánea. El jugador debe llegar a familiarizarse con los modelos alternativos, la ubicación de las herramientas especiales, las armas, las monedas bonificadas, etc.
Cuando los niños hablan acerca de los juegos de Mario, la conversación a menudo se orienta hacia los secretos que uno pueda haber encontrado y que pueden ser de ayuda para otros para llegar más lejos en el juego sin tener que "morir". Este es el punto en el cual el pensamiento matemático puede ser de gran ayuda y donde un maestro puede introducir el juego dentro del currículo. El maestro solicitaría a los alumnos dibujar mapas de los diversos "mundos", haciendo varios modelos, de los peligros y bienaventuranzas del camino. Los estudiantes necesitarían un sentido de orden y una secuencia, un sentimiento topológico y un sentido espacial de los vértices de los modelos y una idea de superación para transformar los mundos desde el monitor al papel. Otro trabajo podría incluir una discusión de los valores de avanzar rápidamente a través de estos mundos comparado con un avance parsimonioso, parando para recolectar las tareas y las herramientas. Aunque no está directamente ligado a los tópicos curriculares de matemática, el juego es un extendido ejercicio en la resolución de problemas y en el pensamiento estratégico.
El juego favorito que yo he visto, especialmente desde el punto de vista de la ventaja matemática, es el "Tetris". Este es un juego que consiste en guardar figuras geométricas en forma tan compacta y eficiente como sea posible. La pantalla muestra algunos tetro (minoes) (figuras hechas con cuatro cuadrados acomodados de varias formas de manera que ellos siempre se toquen en una arista) cayendo lentamente desde arriba, a veces pasándose sobre las capas siempre llenas de cuadrados. Según las formas van cayendo, el jugador puede moverlas de lado a lado pudiendo incluso rotarlas en 360 grados tratando de acomodarlas en las filas del fondo. Sin embargo, es necesario trabajar rápido para obtener las figuras ordenadas en forma correcta antes de que ellas lleguen al fondo, ya que una vez que ellas tocan las pilas de cuadrados, ellas se inmovilizan y no pueden continuar. Si se llena una línea de cuadrados, ésta automáticamente es eliminada, cuidando de que la pila construida no llegue muy alto; pero como los requicios se llenan con las líneas incompletas de cuadrados la pila puede crecer hasta arriba. Cuando lo construido es muy alto, de manera que las piezas nuevas toquen inmediatamente la pila, en ese momento el juego se termina. El puntaje se obtiene del número de líneas que se han completado exitosamente.
La tarea total en si misma da mucha experiencia en sentido espacial y una buena percepción para manejar la relación de formas de tetro (mino). La geometría transformacional tiene además experiencia en rotación y operaciones de deslizamiento aplicadas a la caída de figuras. Debido a que no todas las tetro (monies) son simétricas, el juego además reconoce esas diferencias de como las figuras pueden ser o no agrupadas. De manera más general, el uso de los tetro(minoes) da una bonita introducción a la poly(minoes) general ( incluyendo los famosos puzles de penta(monies)), e indirectamente a las redes, tangrams y a las propiedades de otras figuras geométricas.
A propósito, la elección de cual tetromino caerá es hecha al azar y un grupo de números de cada una de las piezas se muestra en la pantalla. Esto, por supuesto, podría ser usado como ejemplo en tópicos de probabilidad o de estadística. Además, los gráficos y promedios de puntajes en una competencia de Tetris son más que aplicaciones matemáticas del juego. Esto representa sólo un comienzo. El maestro debiera intentar los juegos y usarlos creativamente para ver sus aplicaciones a tópicos matemáticos (u otros).
Epílogo La etnomatemática, al igual que la antropología, a veces presenta un sabor exótico. Sin embargo, ahora los antropólogos argumentan que su campo realmente debiera ser el estudio de la cultura humana - todas las culturas humanas, no solamente aquéllas que se consideran como algo "primitivo". En las universidades africanas, tales de estudios de las culturas a menudo son considerados como "sociología" para evitar cualquier tipo de connotaciones negativas de "antropología". De la misma manera, la etnomatemática, por su original significado, intenta ampliar el significado de la matemática académica para mirar por la matemática en todas partes y en todas las culturas. Esta amplia definición necesita no estar limitada a las culturas foráneas o del tercer mundo. Justo bajo nuestras propias narices nuestros niños tienen su propia cultura. Más que desconocerla, nosotros necesitamos conocer la "cultura infantil" y demostrar que ahí también hay matemáticas.
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Beatríz D'Ambrosio, Universidad de Delaware
La presentación fue enfocada sobre los procesos del cambio curricular en un país en desarrollo y el rol de la ayuda extranjera en este proceso. La conferencista describió su experiencia como consultor de la UNESCO en Guinea-Bissau durante el verano de 1990. El propósito del proyecto fue revisar los currículos de las diferentes materias en los grados de la escuela elemental a través de todo el país. La intención era que después de la revisión los currículos pudieran ser comparables con aquellos existentes en los países desarrollados permitiendo que los graduados nacionales puedan asistir a escuelas secundarias fuera del país.
Aparecieron varias condiciones consideradas esenciales para un cambio efectivo. Estas incluyeron: un ambiente propicio al cambio; activa participación de los maestros en las iniciativas de reforma; en el caso específico de los profesores de matemáticas, éstos necesitan reconceptualizar sus conocimientos sobre la naturaleza de las matemáticas y del rol del maestro en el proceso de aprendizaje; y tiempo para la experimentación y la reconstrucción de los currículos.
Las dificultades que se encontraron durante el desarrollo del proyecto fueron: un ambiente no propicio para el cambio; las creencias del equipo de trabajo acerca de la naturaleza de la matemática, de su aprendizaje y de su enseñanza; el aislamiento intelectual de los miembros del equipo del proyecto y de los profesores distribuidos a lo largo y ancho del país; las bajas expectativas de los miembros del equipo de trabajo sobre las habilidades de los maestros y de los estudiantes; el temor a "caer atrás" si los currículos fueran provistos para enfrentar los problemas nacionales más que si se adoptaran los estándares curriculares usados internacionalmente; y por último, las propias creencias personales de los expositores acerca de los procesos de cambio fueron contradictorias con aquéllas de los miembros del equipo del proyecto.
En conclusión, el orador recomendó enfocar los esfuerzos nacionales sobre educación como un aspecto importante del desarrollo nacional, aunque se vio la necesidad de hacer una educación en servicio de un nivel muy intensivo con la participación masiva de los profesores. El proceso de cambio requeriría un elaborado sistema de apoyo tanto para los profesores como para los miembros del proyecto. En contraste a las expectativas del equipo de revisión del currículo, los cambios sólo podrían ocurrir después de transcurrido un largo período de tiempo.
El juego familiar del Tic Tac Toe fue analizado. Aunque los dos primeros movimientos pueden ser hechos de 72, 9x8, maneras diferentes sobre una mesa arreglada para ello, este número puede reducirse a 12 cuando uno considera la simetría del cuadrado. Sólo como estrategia, si ninguno de los jugadores comete un error, el jugador que inicia el juego no puede perder.
Zaslavsky revisó varias versiones de los juegos de tres bandas, empezando con el tablero de juego inserto en el cielo raso de un antiguo templo egipcio del año 3300 A.C. - Tapatan en las Filipinas, Shisima en Kenya, Tsoro Yematatu jugado sobre una mesa triangular en Zimbabwe, Tres en Raya en Inglaterra y las muchas versiones europeas llamadas "Molino", empezando con el juego introducido en España por los Moros que venían del norte de Africa, lo cual se encuentra impreso en el primer libro europeo de juegos que apareció alrededor del año 1200.
Las versiones más complejas requieren que cada jugador use 12 contadores. Las niñas en Sri Lanka juegan una variación, mientras que otra es popular en Lesotho, un pequeño país circundado por Sud Africa. Un instructor en Lesotho encontró que los estudiantes de cursos intermedios con experiencia en este juego obtenían puntajes significativamente más altos en ciertas tareas estandarizadas de geometría que aquéllos que no tenían dicha experiencia.
Es interesante notar que entre los computadores diseñados por Charles Babbage, y que actualmente no se construyen, existió una máquina de juego del Tic-Tac-Toe.
La sesión concluyó con la participación de los asistentes en la comparación de dos versiones del juego Picaria, jugado por los indios Pueblo del suroeste de los Estados Unidos de América y, probablemente introducido en ese lugar por los conquistadores españoles. Los participantes podían no estar de acuerdo respecto a cual de las versiones era la mejor, pero todos declararon que había sido entretenido. Alverna Champion de la Universidad de Grand Valley State habló sobre "Juegos de Mesa de los Niños Africanos". Los juegos presentados fueron Arreglos, Cuadrados Mágicos, Redes, Achi, Kalah, NTchuba, Senat, Seega y un puzle de una cuerda. El auditorio se entretuvo jugando Arreglos. Champion entregó sugerencias para hacer mesas de juego de bajo costo. La sesión estuvo bien atendida con mucho intercambio de preguntas y respuestas.
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La filosofía de las matemáticas está en el centro de una revolución Kuhniana con un creciente cuestionamiento del paradigma absolutista. Publicaciones hechas por Lakatos, Davis y Hersh, Kitcher y Tymoczko, por ejemplo, están orientadas hacia un nuevo paradigma de falibilidad. Al mismo tiempo, los desarrollos ocurridos en la sociología de la ciencia, conocimiento y matemática y en el pensamiento postestructuralista y postmodernista están mirando hacia las consideraciones sociales contructivistas del conocimiento. Ellas tienen importantes implicaciones para las matemáticas y particularmente la teoría y la práctica educacional.
En educación matemática existe una inquietud creciente acerca del significado de los temas epistemológicos y filosóficos. Las teorías del aprendizaje, tales como el constructivismo, están llegando a ser orientadas epistemológicamente. Un creciente número de áreas de exactitud son diseñadas basándose en la filosofía de las matemáticas y en perspectivas filosóficas. Ellas incluyen la resolución de problemas e investigaciones pedagógicas, teorías curriculares, formación de profesores y desarrollo, creencias de los profesores, aplicaciones de la teoría de Perry, etnomatemática, matemáticas multiculturales y que sirven para ambos sexos, y la sociología y la política de la educación matemática. En suma, los investigadores están siendo inmensamente cuidadosos de los fundamentos epistemológicos de sus metodologías e investigaciones y se refieren a ellas en forma explícita.
Un grupo de filosofía de educación matemática ha sido formado para explorar estos y otros asuntos relacionados. Se ha propuesto ofrecer un Grupo Temático en el 7mo Congreso Internacional de Educación Matemática, Québec, Agosto 16-23, 1992; y un grupo en el Congreso Británico de Educación Matemática, Loughborough, Julio 13-16, 1991. Se ha establecido una red internacional con una carta informativa y las personas interesadas están invitadas a escribir y a participar de la lista especial de correo. Un señalamiento de los intereses de cada uno sería bienvenido, pero no es absolutamente necesario.
El grupo organizador incluyó a Raffaella Borasi (USA), Leone Burton (Inglaterra), Paul Cobb (USA), Jere Confrey (USA), Kathryn Crawford (Australia), Philip Davis (USA), Paul Ernest (Inglaterra), Reuben Hersh (USA), Christine Keitel (FRG)< Steve Lerman (Inglaterra), Marilyn Nickson (Inglaterra), Sal Restivo (USA), Leo Rogers (Inglaterra), Anna Sfard (Israel), Ole Skovsmose (Dinamarca) y John Volminck (USA).
En nuestro estudio Sobre el Despertar del Pensamiento Geométrico (1985) y en nuestro libro Etnogeometría: Contribuciones Antropológicas Culturales a la Génesis y la Didáctica de la Geometría (terminado en 1986 y publicado en 1990) se desarrollaron algunos métodos de investigación antropológica a fin de "descubrir" y reconstruir el pensamiento matemático "escondido". El método básico que se propuso para reconocer las matemáticas implícitas se puede caracterizar como sigue: Cuando analizamos las teoremas geométricas de los objetos tradicionales - como canastos, esteras, ollas, casas, garlitos - el investigador plantea la siguiente pregunta: ¿Por qué estos productos materiales posen estas formas?
El investigador aprende las técnicas usuales de producción y trata en cada una de las etapas del proceso de producción de variar las formas. Haciendo esto el investigador observa que la forma generalmente representa muchas ventajas prácticas y es, la mayoría de las veces, la única solución de un problema de producción. Aplicando este método en el período 1986-1990, se obtuvieron nuevos resultados. Abdulcarimo Ismaél (Departamento de Matemática, Instituto Superior de Pedagogía, Maputo) hizo en 1989 un trabajo de campo en la provincia más al norte de Mozambique, Nampula. En su informe provisorio, él mostró aspectos interesantes del conocimiento matemático (implícito) exhibido por los tejedores de canastos. Durante nuestra estadía como Profesor Visitante en la Universidad del Estado de Sao Paulo (UNESP, Río Claro, abril-mayo de 1988) - enseñando un curso de postgrado sobre metodología de la investigación etnomatemática - nosotros recolectamos una serie de canastos amerindios para iniciar su análisis.
Ahí apareció que para garantizar la bella ornamentación de las paredes simétricas, los artesanos tienen que usar (y desarrollar) herramientas matemáticas tales como la multiplicación y conocer algunas de sus propiedades, como la conmutatividad. En dos informes de investigación: Sobre Investigación Etnomatemática y Simetría y Simetría Quintuple y Tejido (de canastos) en Varias Culturas, nosotros explicamos el por qué los tejedores de canastos "prefieren" cierto tipo de simetrías.
Como este método para reconocer las matemáticas "escondidas" ha sido desarrollado en el contexto de analizar la producción de materiales, tal como la de producir canastos, esterillas, ollas, casas y garlitos, la cuestión de la posibilidad de extender el método a otras esferas de producción - tales como la producción artística o simbólica - tiene que ser establecida (objetivo 1), en vista del éxito del método en el primer campo.
Analizando, por el mismo método, los ornamentos de espirales sobre las paredes de las viejas tumbas egipcias, aparece que los artesanos del antiguo Egipto probablemente tuvieron que conocer como construir un cuadrado que tuviera un área igual a la suma de las áreas de dos cuadrados dados, lo cual pudo haber conducido al descubrimiento del llamado Teorema de Pitágoras.
Nosotros tratamos de aplicar el método al análisis de los diseños africanos y asiáticos tradicionales, en particular a los dibujos de arena de Tchokwe [Angola, relacionado al Luchazi (Zambia) y a las tradiciones gráficas de Makonde (Mozambique)] y al - desde el punto de vista técnico - relacionado diseño de umbrales de Tamil (parte sur de India). Esto trajo como consecuencia el que los métodos mencionados anteriormente para el reconocimiento del pensamiento matemático "oculto", como tal, no fueran inmediatamente aplicables. El método tenía que ser adaptado y "refinado". En lugar de iniciar haciéndose la pregunta de por qué los (materiales) productos poseen las formas que ellos tienen, el investigador tiene que antes que todo preguntarse "¿cuáles son los valores culturales que yacen en la base de la tradición pictórica? y, recién después de esto y considerando los estándares culturales que subyacen en esa realidad, plantear se la interrogante "¿por qué estos diseños poseen las formas que ellos tienen?
Ambas tradiciones, tanto la de Tchokwe como la de Tamil, son similares en el sentido de que los dibujantes usan los mismos implementos mnemotécnicos para la memorización de sus pictogramas estandarizados. Después de limpiar y emparejar la tierra, ellos primero establecen una base ortogonal de puntos equidistantes. Después se dibujan las curvas de tal manera que ellas rodean los puntos sin tocarlos. Muchos de estos diseños de umbrales de Tamil son "monolineales", por ej.: hechos de una sola línea continua y cerrada. En Reconstrucción y Extensión de las Simetrías Perdidas: Ejemplos de Tamil, en la parte sur de India hay una investigación de una serie de modelos de Tamil los cuales no concuerdan con sus estándares culturales, en la medida en que ellos están compuestos de dos, tres o más modelos cerrados superpuestos. Un análisis de los posibles errores de construcción nos muestra que estos diseños "polilineales" son probablemente versiones "degradadas" de los modelos monolineales originales.
Más aún, es posible reconstruir esos modelos originales y hacer explícitos algunos conocimientos geométricos de sus inventores (roles de tranformación, algoritmos geométricos, extensión y generalización). El éxito obtenido en el desarrollo de métodos adaptados y "refinados" (objetivo 2) por el reconocimiento de las matemáticas "escondidas" y la aplicación de ellas a los diseños de Tamil, estimularon su aplicación en otros contextos tales como los diseños de arena de Tchokwe.
Con la penetración y ocupación colonial, la tradición de la arena de Tchokwe ha ido desapareciendo. Nuestro análisis de los dibujos de arena que han sido informados por misioneros y etnógrafos, muestra como la simetría y la monolinearidad juegan un rol importante como valores culturales en esta tradición. Nosotros tuvimos éxito en la reconstrucción de clases (objetivo 1) de los diseños de Tchokwe que se han ido perdiendo con el tiempo y en mostrar que los expertos en los diseños de Tchokwe han aplicado las reglas generales de construcción y han descubierto "teoremas" acerca de las reglas de tranformación, algoritmos, dimensiones y reglas para el encadenamiento de modelos monolineales a modelos monolineales más grandes.
Nosotros hemos sugerido que el origen de las técnicas mnemónicas usadas en los diseños de Tchokwe y en la tradición de Tamil, se basan probablemente en urdiembres y por eso algunos de sus diseños pueden ser caracterizados como modelos de tejidos lisos; además hemos buscado por estos modelos en otros contextos culturales. En el capítulo 8 de nuestro Estudios de Etnomatemática p.190-209, (en alemán), presentamos los primeros resultados de esta excursión:
*8.1: Sobre culebras, los modelos de tejidos lisos y gráficos en la antigua Mesopotamia;
*8.2: Sobre ornamentos célticos;
*8.3: Sobre modelos de formas monolineales de los indios norteamericanos.
En el libro Sobre Cultura, Pensamiento Geométrico y Educación Matemática, capítulo 9, resumimos nuestra experimentación (hasta 1987) con la incorporación de elementos tradicionales de la cultura africana en la educación matemática (objetivo 3). El trabajo enfrentó un amplio prejuicio acerca del conocimiento matemático, ese relacionado a que la matemática es "culturalmente libre", por demostración de construcciones alternativas de las ideas de la geometría euclidiana desarrolladas de la cultura tradicional de Mozambique. Además de establecer el poder educacional de estas construcciones, el trabajo ilustra la metodología de la "concientización cultural" en el contexto del entrenamiento de maestros.
En el libro Un Amplio Motivo Decorativo y el Teorema de Pitágoras, capítulo 10, damos ejemplos concretos de curriculos multiculturales en matemática usando algunos bien conocidos motivos ornamentales africanos y escandinavos como punto de partida para hacer y elaborar matemáticas en la sala de clases. Al mismo tiempo se muestra que ahí existe una infinidad de pruebas (nuevas) para este teorema (ver nuestra publicación ¿Cuántas Pruebas de la Proposición de Pitágoras Existen?, publicado en Suecia). En el capítulo 11 de la primera publicación mencionada, relatamos nuestras primeras reflexiones sobre la posibilidad de usar los dibujos de las arenas de Tchokwe en las matemáticas de la sala de clases. Los ejemplos dados en ese trabajo van desde el estudio de las relaciones aritméticas, simetría, semejanza y los gráficos de Euler para la determinación del mayor común divisor de dos números naturales.
Posteriormente, se hizo una reflexión sobre los resultados obtenidos en la reconstrucción histórica de los diseños mencionados de Tamil y de Tchokwe y sobre los algoritmos geométricos implicados que conducen a la formulación de una primera serie de problemas geométricos del tipo Encuentre las Figuras Perdidas (publicado además en el periódico sueco Namnaren).
En los años 1988 y 1989 condujimos algunos experimentos didácticos más avanzados y concluimos a principios de 1990 un libro de este tipo titulado Lusona: Recreaciones Geométricas de Africa (versiones en inglés y portugués).
Muchos - informados y reconstruidos - diseños de Tchokwe son aestéticamente apetecibles y el análisis de los algoritmos geométricos implicados estimularon su generalización y la invención de nuevos modelos. En "Ejemplos de Algoritmos y de Motivos Monolineales Inspirados por el Sona Tchokwe" (en El Libro de Modelos: Recetas de Belleza de Pickover) presentamos algunos hermosos diseños que encontramos en ese contexto.
El estudio del potencial matemático de los diseños tradicionales de Tchokwe y de su generalización constituyen un área nueva y atractiva de investigación en matemática. Ya en 1987 fuimos estimulados por el análisis de una clase de diseños de Tchokwe a descubrir Un Modelo Físico Para la Determinación de los Números Primos.
Constitución
Artículo I. Nombre. El nombre de esta organización será el de Grupo Internacional de Estudios Sobre Etnomatemática (ISGEm).
Artículo II. Propósito. El propósito de la organización será fomentar y mantener el interés en la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en los contextos culturales y promover el crecimiento profesional, la camaradería y la comunicación entre sus miembros.
Artículo III. Membrecía
Sección 1. La membrecía estará abierta a todas las personas interesadas en la etnomatemática.
Sección 2. (A) Los miembros pagarán cuotas regularmente y estarán habilitados para recibir todos los privilegios de la organización. (B) Las cuotas serán fijadas por la Mesa Directiva y estarán sujetas a la aprobación de los miembros. (C) Cualquiera persona, por decisión de la Mesa Directiva, puede ser considerada miembro honorario por simple petición y no tendrá obligación de pagar cuotas.
Sección 3. El período de membrecía coincidirá con el año calendario, desde el 1ro.de enero hasta el 31 de diciembre.
Sección 4. Todos los miembros deberán indicar la región a la que pertenecen. Las regiones serán: A. Africa; B. Asia (incluyendo el Medio Oriente); C. Pacifico Sur (incluyendo Australia, Nueva Zelandia y las Islas del Pacifico); D. Europa; E. Las Américas (Norte, Central, Sur y el Caribe).
Artículo IV. La Mesa Directiva.
Sección 1. La Mesa Directiva estará formada por los oficiales y los miembros con todos los derechos, el representante de la NCTM, el editor del informativo, el último ex-presidente, el presidente electo, el Asistente del Programa y el Editor Asistente.
Sección 2. La Mesa Directiva atenderá todos los asuntos de la organización que requieran atención en el intervalo que exista entre las reuniones.
Artículo V. Los Oficiales. Los oficiales de la organización serán: Presidente, Primer Vice-Presidente, Segundo Vice-Presidente, Tercer Vice-Presidente, Secretario de Actas, Secretario de Correspondencia y Tesorero.
Artículo VI. Elección de Oficiales y de sus obligaciones.
Sección 1. El Presidente presidirá todas las reuniones de la organización y será el jefe, ex-oficio, de la Mesa Directiva; él designará al representante de la NCTM, al editor del informativo y al editor asistente.
Sección 2. El Primer Vice-Presidente actuará como presidente y como jefe del programa en ausencia del titular. El designará,si es necesario, un comité del programa y un asistente de programa o
representantes de un programa específico para promover las presentaciones sobre etnomatemática en reuniones profesionales relevantes.
Sección 3. El Segundo Vice-Presidente actuará como Presidente en ausencia de los dos anteriores, actuando como miembro oficial.
Sección 4. El Tercer Vice-Presidente actuará como Presidente en ausencia de los tres anteriores y actuará como coordinador de los Grupos de Interés Especial (SIGs) del ISGEm, sirviendo de enlace con los miembros activos respecto a las conferencias que sean relevantes para el ISGEm en las respectivas regiones.
Sección 5. El Secretario guardará las actas de las reuniones y las entregará al nuevo Secretario que sea elegido como un archivo permanente de las acciones de la organización.
Sección 6. El Tesorero recibirá y será responsable de los dineros de la organización, pagará las sumas de dinero que el Presidente ordene y rendirá un informe financiero en la reunión de clausura del año lectivo. Se conducirá una auditoría anual por dos miembros designados por la Mesa Directiva.
Artículo VII. Reuniones. Al menos se realizará una reunión de balance anualmente. El tiempo y el lugar de estas reuniones serán establecidos por la Mesa Directiva. Todas las reuniones serán abiertas a todos los miembros del grupo.
Artículo VIII. Reglas de Orden. La organización será gobernada usando las Reglas de Orden de Robert, excepto en aquellas materias que estén reglamentadas por la Constitución.
Artículo IX. Enmiendas. Esta Constitución puede ser enmendada en cualquiera de las asambleas del Grupo teniendo que contar a favor con los dos tercios de los votos de los presentes, asegurándose que la enmienda propuesta haya sido entregada en la reunión anterior.
Artículo X. Disolución. En cualquier momento en que el Grupo Internacional de Estudios Sobre Etnomatemática (ISGEm) deje de guiarse por los propósitos aquí establecidos, todas las propiedades que le pertenezcan, una vez pagadas todas sus deudas, serán entregadas a una organización que será seleccionada por la última Mesa Directiva del Grupo Internacional de Estudios Sobre Etnomatemática y la cual presente propósitos similares con ésta y tenga establecido su estátus de excepción tributaria en la sección 501(c)(3) del Código de Impuestos Internos de 1954 el cual favorece exclusivamente a las obras de caridad, actividades científicas o programas educacionales.
Reglamento
Artículo I. La Mesa Directiva
Sección 1. Se elegirán dos de los miembros regulares del Pacífico Sur, tres de Africa, tres de Europa, tres de Asia (incluyendo el Medio Oriente) y tres de las Américas.
Sección 2. Entre los miembros adicionales de la Mesa Directiva se incluirá al último ex-presidente, al presidente electo, al representante de la NCTM, al editor de los noticieros, al editor asistente, al asistente del programa y a los oficiales.
Artículo II. Elección de oficiales y de miembros regulares
Sección 1. El período de nombramiento de todos los oficiales y de los miembros regulares será de cuatro años siendo la mitad de ellos efectos cada dos años.
Sección 2. Todas las elecciones serán hechas usando balotas antes de finalizar cada año par, tratando de que sufrague la mayoría de los miembros. Las nominaciones de los oficiales y de los miembros oficiales será hecha por un Comité de Nominación compuesto de cinco miembros designados por el presidente y aprobados por la Mesa Directiva. Este Comité recomendará a lo menos un candidato para cada cargo que deba ser llenado. Otras nominaciones serán recibidas por escrito en el momento de la elección. Se debe presentar por escrito el consentimiento de cada uno de los candidatos antes de colocar su nombre entre las nominaciones.
Sección 3. Los oficiales serán elegidos en años divisibles por cuatro.
Sección 4. Los oficiales empezarán a servir su cargo dos años después de haber sido elegidos.
Sección 5. Los miembros oficiales empezarán a servir el 1ro. de enero del año par que siga inmediatamente a la elección.
Sección 6. Los oficiales serán elegidos por todos los miembros.
Sección 7. Los miembros oficiales serán elegidos
por todos los miembros de la región a la que
pertenezcan.
Sección 8. Los oficiales y los miembros oficiales podrán ser reelegidos .
Articulo III. Enmiendas
Este reglamento podrá ser enmendado por petición hecha por una mayoría de los miembros con derecho a voto, enviando la enmienda propuesta en la reunión anterior.
Ascher, Marcia (1991). Etnomatemática: Una Visión Multicultural de las Ideas Matemáticas. Brooks/Cole Publishing Company, Pacific Grove, California, 93950, USA.
Asher explora las ideas matemáticas de la gente en las culturas tradicionales implicando en ello los números, lógica, configuración espacial y la organización de éstas dentro de los sistemas y las estructuras. Estas ideas con frecuwncia se omiten en las discusiones matemáticas. Donald Crowe dice que "esencialmente ninguna de éstas se ha presentado previamente con alguna profundidad en forma de libro". Alvin White dice que, "el libro demuestra que las ideas matemáticas y sus aplicaciones afloran en los lugares naturales fuera de las tradiciones europeas y científicas".
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Kulm, Gerald (1990). Poder Matemático en la Comunidad. Asociación Americana Para el Avance de la Ciencia, 1333 H Street, NW, Washington, D.C. 20005, USA.
Kulm, Gerald (1990). Poder Matemático en el Hogar. Asociación Americana Para el Avance de la Ciencia, 1333 H Street, NW, Washington, D.C. 20005, USA.
Kulm, Gerald (1990). Poder Matemático en la Escuela. Asociación Americana Para el Avance de la Ciencia, 1333 H Street, NW, Washington, D.C. 20005, USA.
Los libros llamados Poder Matemático son colecciones de actividades de aprendizaje extraídas de muchas fuentes, escritas por tres equipos diferentes de escritores y organizadas por Gerald Kulm. El poder está en insistir que los estudiantes miren hacia atrás y reflexionen sobre sus experiencias de aprendizaje y después señalen algunas conclusiones útiles.
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Moviéndose Más Allá de los Mitos: Revitalizando la Matemática de la Universidad (1991). National Academy Press. 2101 Constitution Avenue, NW. Washington, D.C. 20418, USA.
El informe final del Comité de Ciencias Matemáticas en el año 2000 del Consejo Nacional de Investigación es de lectura obligada para todos los educadores matemáticos. Al menos la comunidad matemática está enfrentando sus propias responsabilidades por la baja preparación que se observa en muchas naciones en todos los niveles. El problema está bien definido y los pasos necesarios para la acción están claramente delineados. Lo que no está suficientemente claro es quién va a iniciar la acción y cuándo.
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Contando Contigo. Acciones de Apoyo a los Estándares de Enseñanza (1991). National Academy Press, 2110 Constitution Avenue, NW. Washington, D.C. 20418, USA.
Este documento de 36 páginas describe varias acciones específicas que la gente puede tomar para apoyar los esfuerzos que hacen los profesores de matemática para alcanzar los estándares de desarrollo profesional, curriculo y evaluación. Esta gente incluye a los directivos de las escuelas, los administradores escolares, padres, profesores de los Institutos Superiores y de las Universidades, los que hacen las políticas, líderes gubernamentales, de la industria y del comercio, los miembros de los medios y los mismos maestros.
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Gilmer, Gloria F. Desarrollo de los Afroamericanos en Matemática: Una Entrevista con Abdulalim Abdullah Shabazz. Math-Tech, Inc., 9155 N. 70th St. Milwaukee, WI 53223-2115, USA.
Se encuentra poca literatura sobre el conocimiento de los académicos afro-americanos y de los maestros quienes consideran elevar más de la mitad de las notas de bachillerato en matemática obtenidas por los afro-americanos. El Dr. Shabazz es uno de esos académicos y maestros y esta entrevista es un recuento de su vida, de su filosofía educacional y de sus logros. Posiblemente esta es la única narración más extensa del Dr. Shabazz y su contribución al campo de la matemática.
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Gore, Henry y Gilmer, Gloria F. Estrategias Efectivas Para la Enseñanza del Cálculo a Nivel Universitario: Informe de una Encuesta (1990). Morehouse College, Atlanta, GA 30314.
Este informe es una muestra descriptiva de una encuesta de cómo se enseña el cálculo hoy en aproximadamente 150 Institutos Superiores y Universidades en los Estados Unidos de América y Canadá. Se analizan algunas prácticas comunes por sus posibles efectos negativos sobre los estudiantes. Este estudio coloca al Morehouse College en la frontera de las reformas reclamadas para la formación de los afroamericanos.