Volumen 8 Número 2, Mayo 1993
Minutas de la Reunión del ISGEm en
Seattle
Claudia Zaslavsky
La reunión fue presidida por la presidente Gloria Gilmer. Asistieron cerca de treinta personas. La Secretaria Claudia Zaslavsky leyó el acta de la reunión celebrada en abril 2 de 1992 y el programa del ISGEm para celebrarse en Nashville el 18 de agosto de 1992 en Quebec en conexión con el Séptimo Congreso Internacional Sobre Educación Matemática.
Claudia Zaslavsky leyó también el informe financiero y de membresías enviado por la tesorera Ana Grosgalvis, mostrando un balance de $1,205.65 y una lista de miembros de 482 a la fecha de diciembre 31 de 1992, aunque no todos los miembros habían pagado sus cuotas.
Erica Voolich anunció la reunión de la organización Historia y Pedagogía de las Matemáticas (HPM) con el ISGEm, lo cual fue calendarizado para el sábado 3 de abril en la tarde.
El editor Rick Scott habló sobre el boletín, y pidió contribuciones para la próxima emisión, en mayo, que es la cuarta y ofreció en venta el compendio de los boletines pasados a un precio de $10.00 para los miembros. Algunas personas se ofrecieron para trabajar en el tablero editorial del boletín.
Un nuevo miembro, Alverna Champion y un miembro retirado Davison recogieron las cuotas durante el transcurso de la reunión.
Lawrence Shirley presidenta del Grupo de Interés Especial Sobre Aplicaciones Escolares, informó sobre la reunión de su SIG más tarde ese mismo día al cual asistieron 16 personas. Discutieron las contribuciones sobre matemáticas multiculturales al periódico del NCTM, así como la publicación de textos multiculturales y materiales por editoriales especializados en textos. El SIG de Sunday Ajose también se reunió más tarde.
Lawrence Shirley informó sobre la reunión de la asamblea de delegados del NCTM. El ISGEm ha admitido tres de las siete resoluciones que se tenían consideradas. Las cuales tratan con la inclusión en el folleto del programa de información sobre la reunión de los afiliados al mismo tiempo que la reunión anual del NCTM; un mejor manejo de los mensajes en el tablero del boletín, y el establecimiento de un comité internacional de NCTM.
El punto más importante de la reunión fue la plática de Joanna O. Masingila de la Universidad de Syracuse la cual trató sobre su fascinante estudio titulado "Relacionando la Etnomatemática de los instaladores de alfombras con el aprendizaje escolar".
La reunión concluyó con el anuncio de que Claudia Zaslavsky dejaba el cargo de Secretaria. Ella podrá ser reemplazada hasta las elecciones de 1996 por María Reid como secretaria registradora y Jolene Shillinger como secretaria de correspondencia. La reunión fue clausurada y los participantes disfrutaron de una recepción ofrecida, como es lo usual por Addison - Wesley.
No creo que este comité tenga más miembros que el presidente, así que mi primera recomendación es que debemos nombrar algunos miembros para este comité, de preferencia personas que estén ligadas a varias organizaciones o a regiones geográficas donde la publicidad esté disponible.
En segundo lugar, me gustaría pedirles a todos los miembros de ISGEm que hagan publicidad mencionando la organización y su dirección (ya sea la de Gloria o la de Rick para el boletín) en cualquier ocasión que hagan presentaciones en escuelas, PTAs, reuniones universitarias, conferencias, entrevistas de radio, etc. Yo creo que muchos de nuestros miembros llevan a cabo dichas presentaciones en las juntas locales. Yo he encontrado mucho interés en la gente aún cuando he visto que se sorprenden al saber que las matemáticas de las culturas aún se estudian y ¡ni hablar de que exista una organización! Con sólo mencionar al ISGEm en dichas ocasiones nosotros podemos divulgarlo a nivel mundial.
En tercer lugar y en el mismo sentido, pedirle a cualquiera que escriba temas etnomatemáticos para publicaciones (en periódicos académicos, boletines, etc.) que mencionen también a la organización en ese artículo como una nota al final (y si es posible) la dirección.
En cuarto lugar, los miembros del ISGEm que están participando o (aún mejor) ayudando a organizar reuniones estatales o regionales del NCTM, MAA, SSMA, etc. deben de ver si es posible agregar reuniones ya sea formales e informales del ISGEm en el programa. La Junta Ejecutiva debe de ayudar escribiendo cartas formales en las cuales se pida dicha inclusión pero la preparación y los detalles deben de ser hechos por miembros locales del ISGEm.
Una sugerencia final es tener más publicidad interna. Es urgente que los miembros del ISGEm que tienen acceso al correo electrónico utilicen el correo del ISGEm más seguido. Los pocos mensajes que yo he recibido fueron muy interesantes y me produjeron contactos estimulantes posteriores. Sin embargo parece que hay muy poco uso del correo. Tal vez la mayoría de los miembros no saben que existe. En este mismo sentido, deberíamos de incluir la dirección del correo electrónico de cada miembro cuando solicitamos información personal.
La falta de miembros ha impedido al comité reunirse éstas han sido mis opiniones personales y las cuales espero sean de utilidad para el ISGEm.
La matemática es un constructo de la mente humana. Es un conocimiento generado por el ser humano en la sociedad. Nace de actividades tales como contar, medir, localizar, diseñar, jugar y explicar. Aún cuando no todos estos conceptos están presentes en el mismo punto de desarrollo en todas las culturas, cada cultura los inventa cuando se encuentra en la necesidad de utilizarlos. En el transcurso del tiempo el arte o técnica para estas actividades los conectaron unos con los otros para proporcionar un entendimiento del medio ambiente sociocultural y natural. Esto logró organizarse dentro de cierto marco intelectual así como las matemáticas son el arte o la técnica por medio de la cual se hace esto.
Hoy en día entendemos las matemáticas como incluidas en las matemáticas de gente no escolarizada las cuales requieren de una interpretación (ver el libro de Ascher o Zaslavsky), las matemáticas que requieren descifrarse (matemáticas babilónicas, egipcias o mayas), las matemáticas que requieren traducirse (matemáticas hindúes, chinas o árabes), y nuestra matemáticas modernas occidentales (en desarrollo multicultural e internacional).
Desde que el conocimiento se desarrolló en las culturas ¿qué sucede cuando las ideas matemáticas de una cultura se encuentran con las de otra cultura?, algunas veces se encuentran, no se toman en cuenta y se dejan pasar. En algunas ocasiones se encuentran, influyen una en la otra (ocurre una "transferencia de tecnología"). Otras veces entran en una rivalidad por imponerse una sobre la otra (por medio de tratados, colonialismo, imperialismo o guerra) Algunas veces cuando una cultura se encuentra con otra y se informa por sí misma de ésta, esto traerá como resultado que una idea conocida en una cultura se encuentra que es conocida en la otra; pero la historia está escrita por los victoriosos sobre las versiones canónicas (oficiales o autorizadas). Las ideas de las otras culturas si bien aparecen como un pie de página cualquier historia de las matemáticas encuentra problemas en que los matemáticos no prestan atención a las matemáticas de otras culturas muy a menudo ellos no están interesados ni siquiera en la cultura de sus propias matemáticas y ven a la matemática como una materia que no tiene historia y que no es una contribución del pasado humano.
Esto me sugiere que al escribir sobre las matemáticas de la India se han olvidado partes importantes hechas por los hindúes antes de los occidentales (evitar prioridades); se olvida que puede haber un precursor de las matemáticas posteriores (árabes, italianos u occidentales) etc. (se impide implicar todo el pasado matemático como un prólogo a las matemáticas presentes). Se escribe justo sobre las matemáticas de la India en su propio conjunto cultural. Esto es el florecimiento de una cultura; que permanece por sí misma y que es independiente. Digamos: "esto es tal como se ve", y se escribe para mostrar las matemáticas de otra cultura.
Etnomatemáticas, Antropología Cognitiva y Psicología en la Educación Matemática
Vergani, Teresa (1991). O zeros e os infinitos: Una experiencia de antropología cognitiva e educaçao matemática intercultural. Lisboa, Portugal: Editorial Minerva. 180 pp. = Bibliography, + XXVIII.
Resumido por: Luis Ortiz - Franco, Chapman y University.
Uno de los cuatro Grupos de Interés Especial (SIGs) del ISGEm es el de Currículo y Aplicaciones en el Salón de Clases, este libro proporciona un buen ejemplo de la aplicación del salón de clases de etnomatemáticas en los cursos de educación a maestros.
El libro es un reporte de un proyecto sobre educación matemática de futuros maestros en escuela elemental en Setúbal, Portugal. El reporte está dividido en seis partes, describiendo el marco teórico que guió el proyecto, las actividades emprendidas, y la evaluación del proyecto.
El propósito del proyecto era realzar la educación matemática de 25 futuros maestros de escuela elemental para capacitarlos en mejorar su enseñanza de la matemática. Las experiencias descritas en este libro son muy emocionantes desde una perspectiva etnomatemática porque demuestran vívidamente los lazos entre matemática, cultura y psicología en el salón de clases de matemáticas.
Debido a la pobre preparación matemática de los participantes en el proyecto y de sus experiencias negativas en sus intentos anteriores de aprender matemáticas, la interacción en el salón de clases entre los futuros maestros y el maestro (profesor Vergani quien fue el director del proyecto) en ocasiones tomó aspectos de sesiones de terapia. En esas sesiones los participantes en el proyecto hablaron sobre sus ansiedades matemáticas, sus aprensiones y miedos a intentar aprender matemáticas. El profesor Vergani discutió cómo su experiencia en éstas (sesiones de terapia) le dieron a ella la idea de proporcionar a los futuros maestros la oportunidad de discutir ideas matemáticas en un contexto multicultural (etnomatemáticas). De aquí que el proyecto vino a ser una experiencia en la exploración del pensamiento matemático y la educación intercultural.
En los primeros capítulos del libro se discuten los conceptos y métodos de antropología cognitiva y educación intercultural que proporcionan el marco teórico para el proyecto. Dentro de este marco se seleccionaron elementos matemáticos de las cultura maya y china y las actividades matemáticas en el salón de clases, estuvieron guiadas por la cultura africana. Descripciones de los respectivos sistemas de conteo y numeración de estas culturas y sus aplicaciones fueron discutidas dentro de una perspectiva de antropología cognitiva. Los conceptos de cero, infinito y complementaridad son comparados y contrastados a través de estas culturas. Vergani infiere modos de pensamiento y puntos de vista del mundo de los mayas y los chinos basados sobre las creaciones matemáticas de estas culturas.
Por ejemplo, el sistema calendario desarrollado por los mayas y el significado filosófico y religioso que ellos le asignaban a algunas de las fechas son parecidas al punto de vista en general de complementaridad de los chinos. En particular, Vergani ( pag. 80) hace alusión al significado de la fecha maya 4 Ahau como una ilustración de la presencia en la cultura maya de filosofía y complementaridad similar a la noción común de Yin-Yang en el pensamiento chino.
Con respecto a los números y Yin-Yang, Vergani afirma que el punto de vista de los mayas del uso posicional del número cero para significar tanto el fin como el principio de un ciclo a otro. Más adelante, esta visión dinámica del cero entre los mayas coincide con los cambios en las 24 horas del día, de la oscuridad a la luz del día, lo cual en sus momento se aplica muy bien dentro del punto de vista de complementaridad de Yin-Yang.
De aquí que los mayas relacionan sus creaciones matemáticas a su ontología.
En otra sección del libro, Vergani argumenta que el proceso de pensamiento de los mayas, su convicción de escribir números verticalmente y sus actividades sociales como la construcción de las pirámides estuvieron unas con otras en armonía. Todas fluyeron desde el fondo (pag. 79). Por otro lado, señala que los pensamientos occidentales fluyen en dirección opuesta, desde arriba, construimos edificios desde el fondo y escribimos números en una convicción horizontal. Comparado con los mayas nuestro proceso de pensamiento, actividades sociales y convicción de escritura numérica no se encuentran en armonía.
Concerniente a la evaluación del proyecto, se les administró a los alumnos un cuestionario diseñado para generar datos cuantitativos y cualitativos. Los datos cuantitativos se obtienen de las preguntas cuyas respuestas se dan en una escala tipo Likert. Los datos cualitativos se obtienen de las preguntas cuyas respuestas son abiertas. Los resultados de la evaluación se incluyen en un apéndice del libro el cual muestra ejemplos de las respuestas abiertas.
Aunque los resultados en conjunto de la evaluación mostraron que el proyecto era exitoso, la información más sobresaliente se obtiene de las respuestas abiertas. Estos datos cualitativos dan un vislumbre de lo emocionante de los temas matemáticos interculturales que fueron explorados en el proyecto y cómo muchos de los futuros maestros disfrutaron del viaje intelectual.
En suma, la experiencia de Vergani al utilizar Etnomatemáticas para promover la educación matemática de los futuros maestros le permitió caracterizar a la matemática como un código universal que nos puede permitir hurgar dentro de la cognición humana. La maestra y los estudiantes en el proyecto experimentaron el uso de los conceptos matemáticos en varias culturas como catalizadores en sus sesiones de comunicación interpersonal para explorar las diversas formas dinámicas de pensamiento en diferentes culturas. Mas aún, los datos de evaluación confirman que la Etnomatemática es un excelente vehículo para estimular la discusión de conceptos abstractos encontrados en los sistemas matemáticos no occidentales, y promover la comunicación interpersonal en el salón de clases en un contexto multicultural.
Relacionando las Etnomatemáticas
de los Instaladores de Alfombras
con el Aprendizaje Escolar
Joanna O. Masingila
Syracuse University
El cuerpo de la literatura conocida como Enomatemática incorpora investigación sobre la práctica de la matemática de culturas distintas e investigaciones sobre las prácticas matemáticas en situaciones diarias dentro de las culturas. En el primer caso los investigadores tienen la tendencia de ver la práctica matemática como una cultura entera (ejem., Lancy, 1983; Posner, 1982), como quiera que sea los investigadores investigan la práctica matemática en situaciones cotidianas dentro de culturas que se han enfocado sobre una situación o contexto de trabajo (ejem. compra de abarrotes, carpintería) dentro de una cultura.
Algunos de estos investigadores (ejem. Brenner, 1985; Carraher, 1986; Carraher & Schliemann, 1985; Ferreira, 1990) han contrastado la práctica matemática en situaciones escolares con la práctica matemática en situaciones diarias y han notado el vacío entre las dos. Lester (1989) sugiere que el conocimiento obtenido en situaciones fuera de la escuela ofrecen desarrollos de actividades que ocurren en el conjunto familiar, son dilemas manejados, objetivos dirigidos que aprovechan este lenguaje natural propio del alumno y muy a menudo ocurre en determinada situaciones. El conocimiento adquirido en la escuela muy seguido está formado de un paradigma de transmisión de instrucción el cual está totalmente desprovisto de significado.
Mi argumento es que el vacío entre hacer matemáticas en situaciones escolares y hacer matemáticas en situaciones fuera de la escuela solamente puede reducirse después de haber aprendido bastante sobre la práctica de la matemática en el contexto de la vida diaria. La mayoría de los investigadores que han examinado la práctica de las matemáticas en situaciones diarias dentro de las culturas, han investigado situaciones que involucran conceptos y procesos de aritmética y geometría. Para extender esta pesquisa a una situación medible pasé un verano con un grupo de instaladores de alfombra para ver los conceptos matemáticos y los procesos involucrados al estimar e instalar las cubiertas en pisos (Masingila, 1992a) también estuve interesado en el proceso por medio del cual los instaladores de alfombras novatos llegan a ser instaladores expertos. Para conectar la etnomatemática de los instaladores de alfombra con la enseñanza escolar, analicé los capítulos de medición de los grados sexto, séptimo y noveno de los libros de texto de matemática y tuve un par de trabajos de alumnos de matemáticas en general del noveno grado sobre problemas que tenían que ver, o que habían ocurrido en el contexto de cubrir pisos.
Práctica matemática en el contexto de los instaladores de alfombras y de conceptos matemáticos
Observé cuatro categorías de conceptos matemáticos utilizados por los estimadores e instaladores de cubiertas de pisos: medida, algoritmos computacionales, geometría, razón y proporciones. Los conceptos de medición y habilidades están involucrados en la mayoría del trabajo hecho por los estimadores e instaladores. En particular observé cuatro categorías diferentes al usar la medición: encontrar el perímetro de una región, encontrar el área de una región, dibujar y cortar ángulos de 45 grados y dibujar y cortar ángulos de 90 grados.
Aunque los algorismos son procesos más que conceptos, hago mención de los algoritmos computacionales en esta sección porque estoy interesado en el concepto matemático de medida que subyace en estos algoritmos. Observé que los estimadores utilizan algoritmos computacionales en las siguientes situaciones de medición para determinar la cantidad de material necesitado en un trabajo de instalación: calcular la cantidad de alfombra, calcular la cantidad de mosaico, calcular la cantidad de madera, calcular la cantidad de base y convertir pies cuadrados a yardas cuadradas.
En suma al uso de los conceptos de medida y los algoritmos observé el uso de los conceptos geométricos del triángulo rectángulo y la construcción de un punto de tangencia sobre una línea y el dibujar un arco tangente a la línea. Los estimadores de cubiertas de piso también utilizan conceptos de razones y proporciones cuando se trabaja con anteproyectos y al hacer bosquejos detallados para el trabajo de instalación que se va a hacer.
Procesos Matemáticos
Al mismo tiempo que se utilizan los conceptos matemáticos, los estimadores e instaladores hacen uso de dos procesos matemáticos: medir y resolver problemas. Se esperaría que el proceso de medición estuviera permeado en el trabajo hecho por los estimadores e instaladores de cubiertas de piso. Sin embargo tener la capacidad de leer una cinta de medición es vital, otros aspectos son igualmente importantes en el proceso de medición: calcular, visualizar arreglos espaciales, conocer qué es medir, y utilizar métodos no estándares de medición.
El proceso matemático de resolver problemas es utilizado cada día por los trabajadores que cubren pisos al tener que hacer decisiones sobre los cálculos y las instalaciones. Las situaciones de trabajo son problemáticas porque debido a las numerosas variables inherentes al trabajo de cubrir pisos. Por ejemplo: (a) el material para cubrir pisos viene en medidas específicas (ejemplo, la mayoría de las alfombra tiene un ancho de 12 pies, la mayoría de los mosaicos son de un pie por un pie), (b) la alfombra en un cuarto ( y muy a menudo en todo un edificio) debe tener una buena apariencia (densidad, superficie rizada de la alfombra formada por las fibras del material) debe correr en la misma dirección, (c) el considerar dónde va a quedar la costura es muy importante, debido a los dibujos en el tipo de carpeta que se está instalando y (d) el mosaico debe de guardar simetría a lo largo y a lo ancho del centro del cuarto. Los problemas que los estimadores e instaladores enfrentan, requieren cambiar el grado de resolución de problemas de los expertos. Como la forma de un espacio que se debe medir y que no ajusta en una forma básica rectangular, el nivel de dificultad de resolver el problema aumenta. Para resolver problemas que ocurren en el trabajo observé que los estimadores e instaladores utilizan cuatro tipos de estrategias en la resolución de problemas: usando una herramienta, usando un algoritmo, usando un marco y verificando las posibilidades. La siguiente situación demuestra cómo se utiliza la estrategia de verificar las posibilidades.
Una Situación de Cálculo
Acompañé a un estimador (al cual llamo Dean) mientra que él medía un campo y calculaba la alfombra de un cuarto con figura pentagonal en un sótano. La longitud máxima del cuarto 26' 2" y el ancho máximo 18'9". Ya que las piezas de alfombra son rectangulares cada región a ser colocada debe cortarse en regiones rectangulares. El área de estas regiones se calcula multiplicando el largo por el ancho. Así pues, este cuarto tenía que ser tratado como un rectángulo más que como un pentágono.
Dean calculó qué cantidad de alfombra sería necesaria verificando dos posibilidades: (a) dejando correr el rollo de alfombra en la dirección de la longitud máxima y (b) girando la alfombra noventa grados de tal manera que el rollo de alfombra corrió en la dirección de ancho máximo.
En el primer caso los dos pedazos de alfombra cada uno de 12' x 26' 4" necesitaban ordenarse. Nótese que dos pulgadas se suman siempre a las medidas para hacer las costuras. Después de que un pedazo de alfombra de 12' x 26'4" estuvo instalado se requería un pedazo de 6'11" x 26'4" para el área sin cubrir. Como sólo un pedazo de 6'11" de ancho podía cortarse de la alfombra de ancho 12' muchos pedazos de la pieza no se pueden utilizar en este tipo de situaciones así que era necesario ordenar una segunda pieza de alfombra de 12' x 26'4" para un total de 70.22 yardas cuadradas. El bosquejo para este caso se muestra por una línea delgada en la figura.
Girando la alfombra noventa grados se requerirían dos pedazos de 12' x 18'11" y un pedazo de 12' x 4'9" para llenar. La pieza de 12' x 4'9" sería cortada en cuatro pedazos, cada uno de 2'4" x 4'9". El bosquejo para este caso se muestra con líneas gruesas en la figura la cantidad total de alfombra necesaria para este caso sería de 56.78 yardas cuadradas. Este segundo caso tiene más costuras que el primero pero el total de pedazos cosidos están contra la pared trasera fuera de la disposición de los dibujos. De aquí que estas costuras no presentaban un gran problema. En ambos casos existiría una costura a la mitad del cuarto. La alfombra en el primer caso costaría al menos $200.00 más que la alfombra en el segundo caso. Dean calculó el costo de la eficiencia contra la colocación de las costuras y decidió que la alfombra debería de instalarse como se describe en el segundo caso.
Llegando a ser un experto
Por medio de mis observaciones y conversaciones con los trabajadores que cubren piso examiné el proceso de aprendizaje por medio del cual los instaladores de alfombra novatos llegan a ser expertos, elabore características tanto de un ayudante (aprendiz de instalador) como de un instalador (instaladores expertos). Un ayudante para llegar a ser un experto se debe caracterizar por (a) observando el trabajo de instalación, (b) haciendo preguntas al instalador, (c) participando en el proceso de instalación, (d) aprendiendo de los errores, (e) llegando a conocer todo lo que el instalador conoce. Las características de un instalador son: (a) mantener el control del proceso de instalación, (b) tener un sentido para el trabajo de instalación, (c) determinar el progreso del ayudante y (d) apoyar al ayudante.
En el Contexto Escolar
Para relacionar la etnomatemáticas de los instaladores de alfombra con el aprendizaje escolar, analicé los capítulos sobre medición en los libros de texto de los grados seis, siete y ocho y platiqué con la pareja de estudiantes de noveno grado que resolvieron problemas de matemáticas sobre el contexto de cubrir pisos.
El libro de ejercicios que analicé tiene algunas desventajas sobre los problemas enfrentados por los trabajadores que cubren pisos. Como quiera que sea las situaciones enfrentadas al instalar alfombras son específicas a este contexto y utilizan solamente unidades tradicionales de medición, los libros de texto proporcionan a los estudiantes experiencias tanto con medidas tradicionales como con unidades métricas. Los libros de texto también proporcionan una variedad de situaciones de medición aunque los trabajadores que cubren piso enfrentan el mismo tipo de situaciones sobre bases diarias. Sin embargo, la mayor diferencia entre la medición ene l contexto de cubrir pisos y su presencia en los seis libros de texto, es que los trabajadores estaban involucrados en hacer mediciones, hacer decisiones, probar posibilidades y calcular en una manera natural que la situación les dictaba, mientras que los estudiantes que utilizan los libros de texto estaban involucrados en completar ejercicios de cálculos colocados artificialmente en situaciones diarias.
Los ejercicios de libro de texto están alejados de la vida real, por lo tanto los estudiantes no requieren involucrarse en el tipo de problemas que se requiere que resuelvan los instaladores de alfombras.
Los estudiantes de noveno grado de matemática general que observé y con los cuales platiqué, trabajaron sobre los siguientes problemas: (a) encontrar el número de pies cuadrados de un pedazo de alfombra y convertirlos a yardas cuadradas, (b) decidir cuáles medidas son necesarias para determinar la cantidad de alfombra que se necesita para un conjunto de escalones con un lado expuesto, (c) medir un cuarto pentagonal y decidir la cantidad de alfombra necesaria y cómo colocarla considerando el costo - eficiencia y la colocación de las costuras, (d) decidir cómo instalar una pieza de alfombra en un cuarto con una columna en el centro, y (e) decidir cómo debería colocarse el mosaico en una cocina de tal forma que guarden simetría a lo largo y a lo ancho con el centro del cuarto.
Situación de Estimación
La pareja de estudiantes que trabajaron el problema concerniente con el salón de forma pentagonal estimaron su discusión sobre todo lo que el salón necesitaba para ser tratado como un rectángulo y tomaron las medidas apropiadas. Los estudiantes también entendieron con algo de rapidez que la alfombra podía ser colocada de dos diferentes maneras: corriendo el rollo en la dirección de la longitud máxima o (b) o corriendo el rollo en la dirección del ancho máximo. Sin embargo los estudiantes parecían tener problemas para visualizar cómo podría ser colocada la alfombra si el rollo corría en la dirección del ancho máximo, especialmente cómo poder cortar pedazos de la pieza de alfombra de 12'x 4'9" para colocar en el pedazo faltante. Esto demostró una falta de habilidad para comparar las cantidades de alfombra utilizada en las dos instalaciones posibles: todas las parejas decidieron que en ambas situaciones se utiliza la misma cantidad de alfombra debido a que el área del cuarto no cambia.
Comparando esto con lo Dean (con su experiencia), él había obtenido la habilidad de visualizar cómo se vería instalada la alfombra en un cuarto vacío y cómo los pedazos para completar deberían cortarse para llenar los espacios faltantes y que el dibujo estuviera en la misma dirección que en el resto de la alfombra. Esta habilidad de visualización le permite a Dean considerar las diferentes posibilidades y comparar el costo - eficiencia contra la colocación de las costuras.
Comparando a los Estudiantes con los Instaladores de Alfombras
Algunas diferencias caracterizan el vacío entre el conocimiento de los alumnos basado en la escuela y el conocimiento de los trabajadores que cubren pisos basado en su experiencia. La diferencia más notable es la ausencia de un entendimiento profundo sobre el concepto de área por parte de los estudiantes. Para la mayoría de estos estudiantes área es una formulada determinada por una figura geométrica (ejemplo, área de un rectángulo = largo por ancho). Porque ellos no tienen la experiencia de encontrar áreas en la vida real (al menos no en la escuela), estos estudiantes no tienen una comprensión de área que pueda aplicarse a situaciones concretas. Por el otro lado, los estimadores e instaladores quienes trabajan con áreas de manera concreta cada día tienen un conocimiento profundo y flexible del concepto de área y son capaces de aplicar este concepto en una variedad de situaciones para cubrir los pisos.
La segunda diferencia entre los estudiantes y los trabajadores que cubren pisos es que éstos últimos han desarrollado habilidades y estrategias para resolver problemas que los estudiantes no tienen. Si los estudiantes solamente se han enfrentado al tipo de ejercicios que encontré en los seis libros de texto, ellos no han tenido la experiencia suficiente resolviendo problemas para desarrollar un repertorio de estrategias funcionales. Relacionado con esto, los estudiantes no se han enfrentado muy a menudo a problemas con variables de la vida real que deban ser considerados y delineados para encontrar soluciones.
Conectando las Matemáticas Escolares con la Práctica Matemática Extraescolar
Este estudio sugiere que las ideas claves para relacionar la matemática escolar con la práctica matemática extraescolar: (a) los maestros deberían construir el conocimiento matemático a partir del conocimiento matemático extraescolar que los alumnos tienen de sus situaciones cotidianas; (b) los maestros deberían de introducir las ideas matemáticas por medio de situaciones que involucren a los alumnos en la resolución de problemas; (c) los maestros deben establecer relaciones experto-aprendiz con sus estudiantes para guiar a los estudiantes al hacer matemáticas y ayudarlos a iniciarse en la comunidad matemática.
Para construir el conocimiento matemático con lo que los estudiantes traen a la escuela de sus experiencias diarias, los maestros deben motivar a los estudiantes para: (a) hacer conexiones entre estos dos mundos de una manera que ayudará a formalizar el conocimiento matemático informal de los estudiantes y (b) aprender matemáticas con más significado y de una manera relevante. " La enseñanza de la matemática puede ser más efectiva y brindará mayor igualdad de oportunidades proporcionando su inicio desde sus bases sobre el conocimiento cultural o cognitivo de los estudiantes". ( Pinxten, 1989, p. 28).
Introducir ideas matemáticas por medio de la resolución de problemas, significa que la información matemática nace de la actividad misma de resolver problemas, junto con un conocimiento de los conceptos matemáticos y los procesos involucrados. En la enseñanza vía resolución de problemas, "los problemas son valorados no solo como el propósito de aprender matemáticas sino con un significado primordial para hacerlo de esta manera. La enseñanza de un tema matemático inicia con un problema de una situación que contiene aspectos claves del tema, y se desarrollan técnicas matemáticas como respuestas razonables a los problemas". (Schroeder & Lester, 1989, p. 33). Los maestros pueden aprovechar de manera muy positiva estos problemas tan llenos de restricciones, para construir el conocimiento matemático de sus alumnos, tomando sus propias experiencias de la vida real e induciendo a los estudiantes para hacer matemática de una manera muy similar a como hacen matemática en situaciones fuera de la escuela.
La enseñanza vía la resolución de problemas, es consistente con la manera en que los trabajadores aprendices instaladores de pisos aprenden sobre estimar e instalar. Los investigadores han tratado sobre el aprendizaje de los aprendices y de su aplicación en el salón de clases (ejem. Lave, Smith & Butler, 1989; Schoenfeld, 1989) y han encontrado que este modelo es viable en el proceso enseñanza-aprendizaje. Sin embargo dicho modelo puede ser utilizado en el aula de dos maneras diferentes muy importantes a la forma de aprendizaje en situaciones de trabajo, y en particular en el contexto de instalar alfombras.
La primera diferencia involucra la relación entre maestro y aprendiz: en el lugar de trabajo, un maestro y un aprendiz están trabajando uno a uno; en el aula, un maestro y posiblemente 30 estudiante o más están trabajando juntos. En el lugar de trabajo, el aprendiz es guiado y dirigido por el maestro directamente en su actividad; en el aula, los estudiantes son guiados por el maestro, pero aún más importante, son guiados y desafiados por otros estudiantes con los cuales están trabajando cooperativamente al hacer matemáticas. Así que, aplicar el modelo de aprendizaje de los trabajadores en el salón de clases, significa una fuerte dependencia del aprendizaje colaborativo. Una segunda diferencia al usar el modelo de aprendizaje en el lugar de trabajo y de usarlo en el aula de matemáticas, es que los aprendices en el lugar de trabajo están construyendo conocimiento para situaciones específicas; en el aula de matemáticas los estudiantes están construyendo matemáticas contenido de conocimiento y procesos matemáticos que son más generales y optimistamente pueden ser aplicados a una variedad de situaciones.
El objetivo final de mi sugerencia de que los maestros introduzcan ideas matemáticas vía problemas llenos de restricciones (ejem. Problemas del contexto de instaladores de alfombras) no es que los estudiantes adquieran el conocimiento necesario para llegar a ser expertos instaladores de alfombras. Sino que los problemas de este tipo, son vehículos para atraer a los estudiantes a hacer matemáticas y beneficiarlos en el desarrollo del razonamiento matemático y las habilidades para resolver problemas utilizadas por los expertos en resolver problemas.
Referencias
Brenner, M. (1985). The practice of arithmetic in Liberian schools. Anthropology and Education Quarterly, 16(3), 177-186.
Carraher, T.N. (1986). From drawings to buildings: Working with mathematical scales. International Journal of Behavioral Development, 9, 527-544.
Carraher, T.N., Carraher D.W., & Schliemann, A.D. (1985). Mathematics in the streets and in schools. British Journal of Development Psychology, 3, 21-29.
Ferreira, E.S. (1990). The teaching of mathematics in Brazilian native communities. International Journal of Mathematics Education and Scientific Technology, 21 (4), 545-549.
Lancy, D.F. (1983). Cross-cultural studies in cognition and mathematics. New York: Academic Press.
Lave, J., Smith, S., & Butler, M. (1989). Problem solving as an everyday practice. In R. I. Charles & E.A. Silver (Eds.), The teaching and assessing of mathematical problem solving (pp. 61-81). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
Lester. F. K., Jr. (1989). Mathematical problem solving in and out of school. Arithmetic Teacher, 37 (3), 33-35.
Masingila, J.O. (1992a). Mathematics practice and appreticeship in carpet laying: Suggestions for mathematics education. Unpublished doctoral dissertation, Indiana University, Bloomington, Indiana.
Masingila, J.O.(1992b, August). Mathematics practice in carpet laying. In W. Geeslin, & K. Graham (Eds.), Proceedings of the 16th Annual Meeting of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. II (pp. 80-87). Durham, NH: Universiyt of New Hampshire.
Masingila, J.O. (in press). Learning from mathematics practice in out-of-school situations. For the Learning of Mathematics.
Pinxten, R. (1989). World view and mathematics teaching. In C. Keitel (De.), Mathematics, education, and society (pp. 28-29), (Science and Technology Education Document Serires No. 35). Paris: UNESCO.
Posner, J.K. (1982). The development of mathematical knowledge in two West African societies. Chil Development, 53, 200-208.
Schoenfeld, A.H. (1989). Problem solving in context(s). In R.I. Charles & E.A. Silver (Eds.), The teaching and assessing of mathematical problem solving (pp. 82-92). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
Schroeder, T.L.,& Lester, F.K., Jr. (1989). Developing understanding in mathematics via problem solving. In P.R. Trafton (De.), New directions for elementary school mathematics (pp. 31-42). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
El investigador director del proyecto McMath, Profesor Asociado de Matemáticas, Alverna Champion, describe el curso como único tanto en el enfoque multidisciplinario como en el enfoque matemático. El personal de las disciplinas de matemáticas, ciencias computacionales, ingeniería, antropología, geografía y sociología trabajarán juntos para construir el curso, el cuál atraerá a los estudiantes a la matemática de una manera en que muchos cursos diseñados tradicionalmente no lo hacen.
Según Champion, el curso considerará las maneras en las cuales varios grupos de personas utilizan los principios de diseño geométrico para construir sus casas en el espacio en que habitan. Al considerar el alojamiento y las comunidades de diversos grupos culturales, los estudiantes se estimularán para aprender a fondo principios matemáticos y desarrollar una conciencia de historia y cultura en el proceso. El curso utilizará la comunidad urbana contemporánea como un recurso, y también se considerará la construcción contemporánea e histórica de los lugares donde viven los Nativo-Americanos, Africo-Americanos, Latino-Americanos, Asiático-Americanos, y Europeo-Americano. Fondos de la Fundación Nacional de Ciencia serán utilizados para construir un programa de diseño computarizado de asistencia, para desarrollar herramientas de enseñanza en la matemática práctica y para recopilar un curso de paquete de lecturas.
La NSF otorgó la beca sobre las bases del acercamiento realmente novedoso del curso, tanto a las matemáticas como a la educación multicultural. Los críticos de la NSF observaron que el curso es una respuesta a las necesidades para establecer conecciones entre las matemáticas y otras áreas de investigación, y proporciona un modelo para el desarrollo del currículo en esta área. Además de el Profesor Champion, otros miembros que forman parte del equipo de Grand Valley son: Profesor de Sociología, Jacqueline Johnson, co-autora; Profesores Larry Kottman, Salim Haidar y Steve Schlicker del Departamento de Matemáticas y Ciencias Computacionales; Profesor Shirley Fleischman, Escuela de Ingeniería; Profesor Janet Brashler, Antropología; y Profesor Ron Poitras, Geografía.
Favilli, Franco and Villani, Vinicio. Disegno e Definizione del Cubo: Un'experienza Didttica in Somalia (Drawing and Defining a Cube: Adidactical Experience in Somalia), L'insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, próximo a publicarse.
El conocimiento del objeto geométrico, como el cubo, implica la habilidad para definirlo, y la habilidad para "visualizarlo con un dibujo. Se les aplicó un test a 19 estudiantes de Somalia. El mismo test también fue aplicado a estudiantes italianos. En este artículo se analizan y se comparan los resultados de los tests.
Por primera vez en su historia la Asociación Americana para el Progreso de la Ciencia (AAAS), llevó a cabo una sesión sobre Etnomatemáticas. Paulus Gerdes fue invitado para presentar "el primer reconocimiento AAAS sobre trabajos actuales en Etnomatemáticas". En su presentación el reflexionó sobre los siguientes temas:
Precursores Aislados.
Ubiratan D'Ambrosio, el padre intelectual del programa
etnomatemático.
Gestaciones de nuevos conceptos.
Ejemplos ilustrativos.
Etnomatemáticas como un campo de investigación.
Movimientos matemáticos.
Paulo Freire y Etnomatemáticas.
Este nuevo Periódico "está ideado para fomentar un intercambio de información entre comunidades internacionales de personas e instituciones que esten interesadas en el papel que puede jugar el conocimiento indigena en un acercamiento de verdadera participación para un desarrollo sostenible". Si usted desea estar en su lista de correos electrónica, escriba a:
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Las actividades en este libro enfatizan los dibujos y los números tal como son utilizados alrededor del mundo. Son muy apropiados para estudiantes de los grados 6-9.
Estas lecturas para el nivel de secundaria incluye la historia y las realizaciones en la ciencia y matemáticas de las personas que generalmente se han encontrado representadas en un nivel muy bajo de materiales escolares. Una gráfica de Pared "Un Mundo de Matemáticas, Ciencia y Tecnología" está también disponible.
Un equipo de actividades de tarjetas, un pasaporte de línea negra con estampillas para conservar un registro o control de las "jornadas matemáticas" de los estudiantes, un Mapa del Mundo estilo caballete para marcar sus rutas y una guía del maestro con línea negra maestra y planes.
Estos Folletos de Proyectos Mulriculturales uno para cada grado desde kinder hasta el grado 8, tienen alumnos participando en proyectos que refuerzan las habilidades matemáticas al mismo tiempo que construyen una conciencia y apreciación multicultural.
ZDM (Zentralblatt für Didatik der Mathematik)- Una Revista Internacional sobre Educación Matemática, es un periódico de abstractos con la mayoría de textos en Inglés que está ahora disponible en el Servicio de Información Científica, 7 Woodland Ave, Larchmont, NY 10538 (914/834-8864).