Dr. Leonel Morales Aldana
Esduela de Ciencias, Facultad de
Ingeniería
Universidad de San Carlos de
Guatemala.
Este capítulo hace un estudio de la geometría, que se encuentra presente en las distintas facetas de la actividad diaria de los mayas, tal como: diseño de sus ciudades, las formas de sus edificios, cerámica y tejidos. También se encuentra una herencia geométrica en los idiomas nativos Maya-Quichés. En la parte final se presenta una geometría axiomática como las de origen occidental, pero utilizando elementos mayas, el objetivo es fomentar el diseño de mosaicos, de naturaleza semejante a los que se muestran en nuestros días en tejidos indígenas, para geometrías de este tipo, sean enseñadas en las escuelas de nivel elemental.
Ciudades
Sucede con el estudio de la Geometría, lo mismo que con las otrs ciencias desarrolladas por los Mayas, el conocimiento maya, fue integrado y desarrollado para el beneficio de la colectividad, cuando se estudia el trazo de las ciudades, éstas tienenuna relación impresionante con la Astronomía. "The Maya spatial orientation of the four corners of their universe is not based upon our cardinal directions..., but probably to either our intercardinal points..., or toward two directions in the east and two in the west, that is to say, sunrise at winter and summer solstices, and sunset at the same two soltices". (Vogt, citado rn León-Portillo, pag. 130.) También esisten muchos ejemplos, que muestran la alineación de los templos con los cuerpos celestes, es muy importante dar lectura al capítulo titulado "In Search of Mesoamerican Geometry" de F. Vinette, piblicado en el libro "NATIVE AMERICAN MATHEMATICS" donde encontramos señalados muchos de estos ejemplos, Morley, también señala estos hechos (Morley, 1083, pag. 294). La alineación de dos estelas, 10 y 12 de la ciudad de Copán, señala la época del año en que tiene que realizarce la quema, previa a la siembra (Morley, 1968, pag. 146-147), ejemplificando que también los monumentos tenían una segunda función, además del hecho mismo de sus inscripciones.
En la tradición oral, los sacerdotes difunden que mucho de su conocimiento viene del maíz. Es del fruto del maíz (la mazorca en Guatemala) de donde se deriva la forma de sus templos, de los granos surgen las escalinatas. También del maíz obtienen otros conocimientos, por ejemplo: la siembra, la calza, lalimpia, etc., surgen así muchas de las cuentas del calendario.
Edificios
La gran mayoría de los templos mayas, son tetraedros truncados, prismas de base rectangular, en algunos casos dilindros circulares, como encontramos en el centro arqueológico del Ceibal.
Estas obras de arquitectura, fueron planificadas antes de iniciarse su ejecución, esto es corolario natural que deducimos de la relación que muchos de ellos guardan con los cuerpos celestes (Morley, pag. 294), también podemos llegar a estas conclusiones, observanso como evolucionan los elementos que utilizan en diseños arquitectónicos, por ejemplo el falso arco Maya (Morley, 1983, pag.267). De igual manera existen evidencias que planificaban sus pinturas, unejemplo se observa en la simetría, de algunos murales de Coba (Vinnete, pag. 389). Estos planos, como les llamamos hoy en día, eran guardados y en algunos casos fueron utilizados como título de propiedad, de esa manera lo relata el libro "SOBRE LOS INDIOS DE GUATEMALA", "...Y les mostraron, para su interpretación dos lienzos en que los naturales del dicho pueblo (de Atitlán) tienen pintados sus casas y antiguedad de los que eran caciques y principales...Pinturas que tenían de sus antiguedade de más de ochocientos años, mediante los cuales averigue sus datos sobre los señores quiches". (Carrasco, pag. 72 y 73).
Cerámica
En todas las civilizaciones, la cerámica ha dejado gran información del desarrollo cultural. La mayor parte de los trabajos arqueológicos, muestran restos de cerámica, obien obras completas o reconstituibles de cerámica. Estas, generalmente, aportan gran información a los estudios de geometría, además de su forma, una colección de curvas y otras figuras geométricas, están presentes adornando a las vasijas en su exterior y en algunos casos, también en su interior. En la cerámica Maya "Se reconocen cinci formas básicas: cántaro, cuenco, vaso, plato y vasija con boca restringida" (Rubio, pag. 6), cada categoría se diferencia de la otra, precisamente por su forma geométrica.
Los Mayas utilizaban para su decoración curvas, figuras humanas, zoomorfas, flores, inscripciones y fechas. Dentro de las curvas, existía una predilección por las curvas entrelazadas, también con frecuencia las curvas entrelazadas, también aparecen con frecuencia las curvas en espiral. El concepto de curvas y rectas parece haber existido con naturalidad, por ejemplo en el Popol Vuh Versículo 651, registra "en la linea recta colocaron...." y en los ejemplos que presento más adelante del idioma kekchi y chorti, encontrarán expresiones para: línea, alinear, fila, en fila, lado, orilla de y muchos términos más.
Lenguas Nativas
Mucho del conocimiento indígena, se transmite en forma oral, en el libro El Ladino Me Jodio, encontramos esa metodología de estudio y conservación de las culturas indígenas, muy bien ejemplificadas por A. Saravia (autora del libro). Si ellos aún hoy en día, utilizan la tradición oral, para mantener viva su herencia cultural, es innegable que los investigadores, tengamos que acudir también a esa metodología, Thompson señala esto en los párrafos siguientes: "...pero hay más, mis contactos con nuestros trabajadores mayas de San Antonio y las largas conversaciones con Faustino en el curso de nuestros viajes, me sirvieron para darme cuenta de que los modernos descendientes de los antiguos mayas, todavía conservan muchas de sus viejas costumbres". (Thompson, pag. 123).
"Debido a que el Maya es tan conservador y equilibrado, bien puede asegurarse que fundamentalmente actúan hoy como hace un milenio, y de allí que pueda deducirse mucho de su pasado estudiando el presente" (Thompson, pag. 124).
Para apoyar la tésis, se inicia el estudio de términos geométricos presentes en algunos idiomas Maya Quichés, dando algunos ejemplos tomados del libro Nuevo Diccionario De Las Lenguas K'ekchi' y Española (Guatemala. 1955).
arco celeste xoquik'ab
atravesar (colocar
horizontalmente) k'e'ebanc
bajo (estatura y longitud) ca'ch'in
cilíndrico bolbo
cuadrado caxucut
cuadrar caxucutinc
cuadrilongo rumru/rok/
dados bul
jugar a los dados bulic/buluc
distancia najt, xnajtil
fila tzol
en fila chitzol, tzoltzo
forma (de bola) t'ort'o
(rollo) bolbo
(achatado) pechpo
(aplanada) tz'artz'o
(cilíndrica) bolbo
(huevo) bak'bo
(de canto) salso
lado pacal,xpac'alil
(un) jun pac'al
(varios) q'uila pac'al
(ambos) xca'pac'alil
largo nim rok
largura xnimal rok
línea tzol
(una fila) jun kerel
(alinear) tzolobanc
medida bis, bisleb
(medida de) xbisul
(la mitad de una) jun bas
medido (ya está) bisbo, bisbil
medio (de dos) yibej
(en medio) sa'xyi, yitok
(dos y medio) cuan rox
(tres y medio) cuan xca
medir bisoc
(por cuartas) c'utu banc
También en el Idioma Chortí, se encuentra el libro Metodo Moderno Para Aprender El Idioma Chorti: Una Gramática Pedagógica, algunos términos, que señalan la existencia de una geometría, un poco más métrica y topológica, que la encontrada en la lengua Kekchi, que está motivada por las formas, veamos esos términos:
T'isb'ir parejo medido
cob'a? ¿que tamaño?
nixi muy grande
tor encima de
yeb'ar debajo de
chuchu pequeño
tuti' orilla de
nojta grande
nixi muy grande
Se concluye de los ejemplos anteriores, que dada la gran cantidad de términos geométricos que existen en estas lenguas Mayas Quichés (tomadas al azar), se puede observar que estos elementos fueron utilizados y continúan diendo utilizandos por los pueblos Mayas Quichés.
Tejidos
El Popol Vuh, versículo 237, describe las tareas para los niños "tocar la flauta, cantar, escribir, pintar, esculpir...". Hoy en día se ha agregado a estas tareas, la de tejer, bordar, es en los tejidos a donde se ha transportado muchos de los diseños que se presentaban antes solo en la cerámica.
En los tejidos Mayas Quichés, se encuentra una amplia gama de mosaicos,tanto en los tejidos de uso personal, como en los de uso doméstico, los mosaicos tienen diferentes interpretaciones y se recomienda la lectura del libro de Anderson (que aparece en la bibliografía), el cuál le guiará en el estudio de este tema.
Veamos un mosaico (Figura 1):
Figura 1
Se puede notar una repetición de triángulos dispuestos en filas o cadenas, ya sea horizontal o en diagonal.
En este otro ejemplo (Figura 2):
Figura 2
Se encuentra una repetición de líneas quebradas, pero analizando las líneas, ellas son la fronyera de rombos.
Un último ejemplo (Figura 3):
Figura 3
Se encuentra una repetición del elemento < t también de > dispuestos en una fila horizontal. Estos mosaicos dan una idea general de geometría en los tejidos indígenas, que aún hoy se presentan y forman parte de su vestuario diario.
Geometría
Del trabajo de Gerdes, piblicado en el libro Desenhos Da Africa, se obtiene la idea de hacer una matematización de los dibujos que aparecen en los tejidos. Se busca un elemento generador al cual se aplican diferentes operadores: translación, homotecia, rotación. Con la composición de este elemento se desarrollan formas y la composición de formas desarrollan cadenas para luego formar mosaicos. Se tiene entonces un elemento no definido el <, de él se derivan formas, cadenas y mosaicos, para así fomentar la geometría.
Elemento
El elemento no definido que dará fundamento a esta geometría, fue buscado dentro del denominador común de las diferentes formas que aparecen en los tejidos Guatemaltecos, y resultó ser semejante al símbolo de menor que
A este elemento se le aplican diferentes operadores, como:
1. Homotecia: Esta actúa en tamaño y grosor o en carácter positivo o negativo,
Fino Positivo Pequeño
Grueso Negativo Grande
2. Rotación: Esta actúa sobre una rama o sobre las dos ramas, haciendo cambiar el ángulo, po ejemplo:
Formas: Se define una forma, como el conjunto de uno o más elementos, con una cierta orientación. Los elementos utilizados en las formas, pueden ser simples o pueden ser el resultado de aplicar un operador, por ejemplo:
Dos elementos unidos por su vértice
Rombo
Dos elementos unidos por su vértice, pero en negativo
Cadenas: Se define una cadena, como la unión de una o má formas, por ejemplo:
Mosaicos: Se define un mosaico como la unión de una o más cadenas, veamos un ejemplo completo:
Partimos del elemento inicial
Definimos la forma
Construimos la cadena
Con esta cadena podemos formar los mosaicos siguientes:
Como se indicó al inicio, el objetivo es introducir al lector, al estudio de la geometría de los mosaicos, que se encuentran presentes en los tejidos de Guatemala, con el propósito de elevar la autoestima y de engrandecer esta riqueza cultural.
Bibliografía
Anderson, Marylin, Guatemalan Textiles Today, Watson-Guptill Publications, New York, 1978.
Carrasco. Pedro, Sobre Los Indios De Guatemala, Seminario de Integración Social Guatemalteca, Publicación No. 42, Editorial José de Pineda Ibarra, Guatemala, 1982.
De León V. Carlos y F. López P., Popol Vuh, Libro Nacional de Guatemala, CENALTEX, Ministerio de Educación, 1985.
Esparza Hidalgo, David, C Diana, México, 1976.
Gerdes, Paulus, Desenhos Da Africa, Editora Scipione, Sto Paulo, Brasil, 1990.
Landa. Fray Diego de, Relación de Las Cosas De Yucatán, Editorial Pedro Robredo, México, 1938.
León-Portilla, Miguel, Time And Reality In The Thought Of The Maya, Second Edition, University of Oklahoma Press, Norman, 1988.
Lubeck, John E. y Diane L. Cowie, Método Moderno Para Aprender El Idioma Chortí: Una Grámatica Pedagógica", Instituto Linguistico de Verano, Guatemala, 1989.
Morales H., Italo. U Cayibal Atziak, Imágenes en los tejidos Guatemaltecos", Ediciones Cuatro Ahau, Guatemala, 1982.
Morley, Sylvanus G., La Civilización Maya, fFondo de Cultura Económica, México, 1968.
Morley, S. G. and G. W. Brainerd, The Ancient Maya, Standford University Press, Stanford, California, fourth edition, 1983.
Rubio Rolando, Introducción a la Arqueología Maya, Cuaderno de Trabajo, Museo Popol Vuh. Universidad Francisco Marroquín, Guatemala, 1992.
Saravia E., Albertina, El Ladino Me Jodió, Guatemala,CENALTEX, Ministero de Educación, 1986.
Sedat S., Guillermo, Nuevo Diccionario de Las Lenguas K'ekchi' y Española, Chamelco, Alta Verapaz, Guatemala. 1955.
Thompson, J. Eric, Arqueólogo Maya, Editorial Diana, 1965.
Vinette, F., "In Search Of Mesoamerican Geometry", in: Michael P. Closs, Editor, Native American Mathematics, University of Texas Press, Austin, 1988.
María Victoria Ponza
Argentina
En ICME-7, Québec, 1992, se le dio a la Geometría una consideración especial. Collette Laborde de Francia resumió en pocas palabras : "La Geometría no está muerta; vive y está funcionando bien".Algunos dicen que la Geometría es una herramienta muy útil para mirar las bellezas del mundo. Es la parte de las Matemáticas mas relacionada con la realidad. Es por esto que la enseñanza de la Geometría no puede estar limitada a formulismos y símbolos, sino que debe darse dentro de el tacto, la observación, la pintura y la manipulación. Tiene que relacionar al estudiante con el mundo de patrones, figuras y movimientos y de ahí a la abstracción. En otras palabras, es necesario iniciar con el entorno del estudiante.
Los mejores recursos para aprender Geometría forman parte de la vida, la cultura, el arte y el juego. Primero los estudiantes deben aprender a observar, a tocar y a sentir. Una posible estrategia es empezar con lo que el alumno conoce y a través de la experiencia y la solución de problemas reales alcanzar el entendimiento del concepto. Esta fue la estrategia utilizada en Cacería de Figuras. Esto ofrece el tipo de experiencia que conduce a la Etnomatemáticas en el mejor sentido: Matemáticas para todos.
La Experiencia
Las Escuelas secundarias en Argentina ofrecen cinco años de estudios para alumnos de aproximadamente 12 a 18 años de edad. Clases con un número muy grande de alumnos y la ausencia de materiales de enseñanza, caracterizan a la mayoría de las escuelas públicas. Debido a esto los maestros necesitan tener una gran imaginación y hacer un esfuerzo especial si quieren lograr su meta.
Esta experiencia fue realizada con 48 alumnos del segundo grado de secundaria en la escuela Mariano Moreno en Río Ceballos, Córdoba, Argentina. El concepto con el cual se inició el estudio fueron los polígonos. La primera etapa consistió en el repaso de algunos conocimientos básicos que los alumnos ya habían aprendido en la escuela elemental: figuras poligonales, paralelogramos, planos, perímetros, áreas y polígonos cóncavos y convexos.
La segunda etapa consistió en invitarlos a ir de cacería. Su primera reacción fue preguntar que clase de armas deberían de llevar: piedras, rifles etc. Les contesté que las únicas armas que deberían traer eran inteligencia, papel y lápices. Les dije que el objetivo era: "Buscar figuras geométricas en el mundo que nos rodea". En el exterior, el trabajo fue hecho en un campo de atletismo el cual está rodeado por colinas y con el anfiteatro como centro de operaciones. Después les expliqué que las dos tareas principales eran: a) dibujar todas las figuras geométricas que encontraran y escribir todo acerca del lugar donde las hubieran encontrado, y b) calcular el área y el perímetro de partes rectangulares de la tierra.
Se organizaron en grupos de cooperación y nombraron un coordinador. Reunieron sus datos utilizando medidas informales tales como ramas, zapatos, pasos. Organizaron sus datos, calcularon el área y experimentaron con la fórmula de Heron. Discutieron sus discrepancias en las variaciones obtenidas en el cálculo de las áreas. Clasificaron las figuras que habían cazado como: polígonos convexos, polígonos cóncavos y otros.
La cantidad de figuras geométricas en la naturaleza los asombró. Dijeron: "Ni siquiera un mes sería suficiente para tomar nota de todas las figuras en este pedazo del mundo. ¿Como sería en el mundo entero?"
Fueron al exterior en una segunda ocasión para recalcular el área y para revisar las clasificaciones que habían hecho.
Observaciones
Conclusiones
Es necesario inducir a los alumnos a la investigación y permitir que la disfruten. Los teoremas son importantes; tenemos que enseñarselos. Pero no debemos limitarnos nosotros mismos a simples lecturas. Aprender las características de un rectángulo por observación y contacto de una banca en el campo de atletismo o con la corteza de un árbol, es también muy importante. Si es posible llevar el aprendizaje a lo natural o al medio ambiente hecho por el hombre, el aprendizaje puede ser mas rico y se puede promover un respeto hacia la naturaleza. Encontrar elementos desconocidos es lo mejor que nos puede pasar.
The Influence of Computers and Informatics on Mathematics and its Teachin (UNESCO/ICMI) Estudio editado por B. Cornu y A. Ralston.STEDS 44, 1992.
Educación Matemática en las Américas VIII, editado por R. Scott (IACME 8 Conferencia, Miami 1991). Steds 43, 1992, Disponible solamente en Español.
Educación Matemática en las Américas VII, editado por E.Luna y S. González (IACME 7 Conferencia, Santo Domingo, República Dominicana, 1987). STEDS 37, 1990, Disponible solamente en Español.
Matemática, Educación y Sociedad, editado por Keitel, Damerow Bishop y Gerdes (ICME 6 Quinto Día).STEDS35,1989, Disponible en Inglés, Español, y Ruso.
Evaluation and Assessment inMathematics Education, editado por D. Robitaille (ICME 6 ThemeGroup). STEDS 32, 1989, English only.
Innovations in Science and Mathematics Education in the Soviet Union, STEDS 24, 1987, English only.
Matemáticas para Todos, editado por Dame row,Dunkley, Nebres y Werry (ICME 5 Tema Grupal). STEDS 20, 1986, Disponible en Inglés y Español.
Otros documentos se encuentran en preparación. Uno por aparecer durante este año, el cual también es gratis:
Factors Influencing the Learning of Mathematics, edited by A. Bishop (prepared by ICME Study Group PME).
Para obtener una copia de Bibliografía Anotada escriba a:
Dr. Patricia Wilson
The University of Georgia
105 Aderhold Hall
Athens, GA 30602-7124 USA
Corrección al Boletín de ISGEm
en el Ejemplar del mes de Mayo
Gilmer, et. al. no son los autores de Multiculturalismo en Matemáticas, Ciencia y Tecnología: Lecturas y Actividades como se reportó en la página 8 del boletín de ISGEm de Mayo de 1993. Addison-Wesley es el autor.
El trabajo de Gloria Gilmer, Mary M. Soniat-Thompson y Claudia Zaslavsky es el que se titula Construyendo Puentes para las Conecciónes Culturales Matemáticas. Para mayor información ver ¿Ha VistoUsted? mas adelante.
Periódico de Mujeres y Minorías en Ciencias e Ingeniería
El Periódico de Mujeres y Minorías en Ciencias e Ingeniería está buscando trabajos para publicaciones. La primera emisión será publicada en el Invierno de 1994. El propósito del Periódico es la publicación de documentos originales que reporten ideas y programas innovadores, estudios científicos y formulación de conceptos relacionados con la educación, reclutamiento y retención de grupos sin representación en Ciencia e Ingeniería. Los asuntos relacionados con mujeres y minorías en Ciencia e Ingeniería marcarán la consolidación de la integridad profesional y el ambiente educacional . Los temas en los trabajos pueden incluir:
Las guías para la preparación de manuscritos se solicitan a:
Kathy Wagner, Editorial Assistant
Journal of Woman
& Minorities in Science & EngineeringWomen's
Research Institute
Virginia Polytechnic Institute and State
University
Sandy Hall Room 10
Blacksburg, VA 24061-0338 USA
Teléfono:703/231-6269 Fax:703/231-7669
E-mail:jrlwmse@vtvm1.cc.vt.edu
Las subscripciones se pueden obtener solicitándolas a
la siguiente dirección y mandando un
cheque por $40.00 a la orden de:
Begell House, Inc.
79 Madison Avenue
New York, NY 10016-7892
Gilmer, Gloria; Soniat-Thompson, Mary; y Zaslavsky, Claudia. Building Bridges to Mathematics Cultural Connections (Construyendo Puentes para Conecciones Culturales Matemáticas), Adisson-Wesley, 1992.
Este trabajo es un conjunto de actividades diseñadas para fortalecer las habilidades matemáticas en el contexto cultural. Se presentan actividades que capitalizan en la naturaleza social de los estudiantes desde una variedad de fundamentos interactuando sobre proyectos que exploran nuestro mundo. El conjunto completo consiste de un equipo para cada grado, desde Kinder hasta Octavo. Cada equipo contiene una actividad por capítulo de Matemáticas Addison-Wesley. Cada actividad se presenta en ocho tarjetas duplicadas para que el maestro pueda tener a toda la clase trabajando en la misma actividad dentro de ocho grupos de cooperación de aprendizaje. Se incluye una guía del maestro para cada grado, de esta manera, los maestros que estén utilizando otros programas, pueden integrar estas actividades en su curriculo.
Este trabajo explora la manera de ayudar a los niños a entender la universalidad de las Matemáticas. Partiendo de la premisa: "La Matemática es verdaderamente un lenguaje internacional y un campo de estudio que no conoce fronteras entre raza, cultura o credo" se intenta dar respuesta a la pregunta: "¿Como podemos explotar la riqueza de la herencia cultural para mejorar la enseñanza de las matemáticas y educar a nuestros niños para vivir en una sociedad multicultural?" Los capítulos son:
Razones para una aproximación Multicultural a las
Matemáticas
Enseñanza Matemática desde un Punto de Vista
Multicultural.
Diez Areas Claves del Curriculum.
Algoritmos de la Multiplicación.
Ecuaciones Simultáneas: Aproximaciones
Numéricas de China.
Geometría y Arte.
Estadística y Desigualdades: Una perspectiva Global.
Alverna Champion, Second Vice President
Grand Valley State University
Claudia Zaslavsky, Secretary
New York, NY
Patrick (Rick) Scott, Editor
University of New México
Ubiratan D' Ambrosio, First Vice Presidente
Universidad Estadual de Campinas
Luis Ortiz-Franco, Third Vice Presidente
Chapman University
Anna Grosgalvis, Treasurer
Milwaukee Public Schools
Lawrence Shirley, Member-at-Large
Towson State University
David Mtetwa, Member-at-Large
Zimbabwe
Jerome Turner
St. Xavier University